Question

已知拋物線C：y=mx²（m＞0），焦點(diǎn)為F，直線2x-y+2=0交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)，過P作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)Q，
（1）若拋物線C上有一點(diǎn)R（x_R，2）到焦點(diǎn)F的距離為3，求此時m的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線C的焦點(diǎn)，
∴，得．
（2）聯(lián)立方程，
消去y得mx²-2x-2=0，設(shè)A（x₁，mx₁²），B（x₂，mx₂²），
則（*），
∵P是線段AB的中點(diǎn)，∴，即，∴，
得，
若存在實(shí)數(shù)m，使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則，
即，
結(jié)合（*）化簡得，
即2m²-3m-2=0，∴m=2或（舍去），
∴存在實(shí)數(shù)m=2，使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形．
分析：（1）先求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用拋物線的定義把焦點(diǎn)F的距離為3轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離為3即可求m的值；（也可以直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解．）
（2）△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形即是，把直線方程和拋物線方程聯(lián)立，可以得到A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求得P以及Q的坐標(biāo)，代入，即可求出m的值．
點(diǎn)評：本題考查拋物線的應(yīng)用以及直線與拋物線的綜合問題．解決本題的關(guān)鍵是看清題中給出的條件，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解．