Question

（2010•宿州三模）已知拋物線C：y=

1

4

x2-

3

2

xcosθ+

9

4

cos2θ+2sinθ（θ∈R）
（I）當θ變化時，求拋物線C的頂點的軌跡E的方程；
（II）已知直線l過圓x²+y²+4x-2y=0的圓心M，交（I）中軌跡E于A、B兩點，若

AB

=2

AM

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）先將拋物線方程然后用θ表示出拋物線的頂點坐標

x0=3cosθ y0=2sinθ

，消去θ，即得拋物線C的頂點P的軌跡E的方程．
（Ⅱ）先求得圓心M（-2，1），由于

AB

=2

AM

，所以M是AB的中點，設l的方程為y=k（x+2）+1，代入軌跡E的方程消去y借助于根與系數(shù)的關系，利用M是AB的中點，可求直線方程．

解答：解：（I）將拋物線方程配方得y=

1

4

(x-3cosθ)2+2sinθ，
設拋物線的頂點為p（x₀，y₀），則

x0=3cosθ y0=2sinθ

，消去θ得

x 2 0

9

+

y 2 0

4

=1．
故拋物線C的頂點P的軌跡E的方程：

x 2

9

+

y 2

4

=1．…（5分）
（Ⅱ）由x²+y²+4x-2y=0得圓心M（-2，1），
∵

AB

=2

AM

∴M是AB的中點，易得直線l不垂直x 軸，
可設l的方程為y=k（x+2）+1，代入軌跡E的方程得：（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

36k2+18k

4+9k2

，
∵M是AB的中點，∴-

36k2+18k

4+9k2

=-4，解得k=

8

9

．
∴直線l的方程為y=

8

9

(x+2)+1，即8x-9y+25=0…（12分）

點評：本題主要考查參數(shù)法求軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關系，利用聯(lián)立方程組的方法，屬于中檔題．