Question

已知拋物線C：y=2x²，直線y=kx+2交C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)M作x軸的垂線交C于點(diǎn)N．
（Ⅰ）證明：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)k使

NA

•

NB

=0，若存在，求k的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A（x₁，2x₁²），B（x₂，2x₂²），把直線方程代入拋物線方程消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，進(jìn)而求得N和M的橫坐標(biāo)，表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線l的方程將y=2x²代入進(jìn)而求得m和k的關(guān)系，進(jìn)而可知l∥AB．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使

NA

•

NB

=0成立，則可知NA⊥NB，又依據(jù)M是AB的中點(diǎn)進(jìn)而可知|MN|=

1

2

|AB|．根據(jù)（1）中的條件，分別表示出|MN|和|AB|代入|MN|=

1

2

|AB|求得k．

解答：解：（Ⅰ）如圖，設(shè)A（x₁，2x₁²），B（x₂，2x₂²），
把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0，
由韋達(dá)定理得x1+x2=

k

2

，x₁x₂=-1，
∴xN=xM=

x1+x2

2

=

k

4

，∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為(

k

4

，

k2

8

)．
設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線l的方程為y-

k2

8

=m(x-

k

4

)，
將y=2x²代入上式得2x2-mx+

mk

4

-

k2

8

=0，
∵直線l與拋物線C相切，
∴△=m2-8(

mk

4

-

k2

8

)=m2-2mk+k2=(m-k)2=0，
∴m=k，即l∥AB．

（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使

NA

•

NB

=0，則NA⊥NB，
又∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴|MN|=

1

2

|AB|．
由（Ⅰ）知yM=

1

2

(y1+y2)=

1

2

(kx1+2+kx2+2)=

1

2

[k(x1+x2)+4]=

1

2

(

k2

2

+4)=

k2

4

+2．
∵M(jìn)N⊥x軸，
∴|MN|=|yM-yN|=

k2

4

+2-

k2

8

=

k2+16

8

．
又|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( k 2 )2-4×(-1)

=

1

2

k2+1

•

k2+16

．
∴

k2+16

8

=

1

4

k2+1

•

k2+16

，
解得k=±2．
即存在k=±2，使

NA

•

NB

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．考查了學(xué)生綜合把握所學(xué)知識(shí)和基本的運(yùn)算能力．