Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+b的圖象上一點(diǎn)P（1，0），且在P點(diǎn)處的切線與直線3x+y=0平行．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值；
（3）在（1）的結(jié)論下，關(guān)于x的方程f（x）=c在區(qū)間[1，3]上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出a，根據(jù)函數(shù)過(guò)（1，0）點(diǎn)，求出b，即可求出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值；
（3）構(gòu)造函數(shù)，研究構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)尤其是單調(diào)性，列出該方程有兩個(gè)相異的實(shí)根的不等式組，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）因?yàn)閒′（x）=3x²+2ax，
所以曲線在P（1，0）處的切線斜率為f′（1）=3+2a，即3+2a=-3，所以a=-3．
又函數(shù)過(guò)（1，0）點(diǎn)，即-2+b=0，所以b=2．
所以f（x）=x³-3x²+2．---------------------------------------------------（2分）
（2）由f（x）=x³-3x²+2，f′（x）=3x²-6x．
由f′（x）=0，得x=0或x=2．
①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，在區(qū)間（0，t）上f′（x）＜0，f（x）在[0，t]上是減函數(shù)，
所以f（x）_max=f（0）=2，f（x）_min=f（t）=t³-3t²+2．---------------------------（4分）
②當(dāng)2＜t＜3時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）、f（x）的變化情況見下表：

x	0	（0，2）	2	（2，t）	t
f′（x）	0	-	0	+	+
f（x）	2	↓?	-2	↑?	t3-3t2+2

--------------------------------------------------------------------（6分）
f（x）_min=f（2）=-2，f（x）_max為f（0）與f（t）中較大的一個(gè)．
f（t）-f（0）=t³-3t²=t²（t-3）＜0．
所以f（x）_max=f（0）=2．--------------------------------------------------（8分）
（3）令g（x）=f（x）-c=x³-3x²+2-c，g′（x）=3x²-6x=3x（x-2）．
在x∈[1，2）上，g′（x）＜0；在x∈（2，3]上，g′（x）＞0．要使g（x）=0在[1，3]上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，則

g(1)≥0 g(2)＜0 g(3)≥0

，
解得-2＜c≤0．-------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的工具作用，考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的知識(shí)．考查學(xué)生對(duì)方程、函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與化歸思想，將方程的根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點(diǎn)問(wèn)題，屬于綜合題型．