Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC₁的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線A₁B₁上，且滿足

A1P

=λ

A1B

．
（Ⅰ）當(dāng)λ=

1

2

時(shí)，求直線PN與平面ABC所成的角θ的正弦值；
（Ⅱ）若平面PMN與平面ABC所成的角為45°，試確定點(diǎn)P的位置．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（Ⅰ）以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，求出

PN

=(0，

1

2

，-1)，平面ABC的一個(gè)法向量，然后利用直線與平面所成角的計(jì)算公式求解即可．
（Ⅱ）取平面ABC的一個(gè)法向量為

n

=

AA1

=(0，0，1)，求出平面PMN的一個(gè)法向量

m

，由

m • NP =0 m • MP =0

以及|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m || n |

，求出λ，然后求解點(diǎn)P的位置．

解答： 解：（Ⅰ）以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則

PN

=(0，

1

2

，-1)，平面ABC的一個(gè)法向量為

n

=(0，0，1)
則sinθ=|cos＜

PN

，

n

＞|=

| PN • n |

| PN || n |

=

2 5

5

．
（Ⅱ）已知給出了平面PMN與平面ABC所成的角為45°，取平面ABC的一個(gè)法向量為

n

=

AA1

=(0，0，1)，
設(shè)平面PMN的一個(gè)法向量為

m

=(x，y，z)，

MP

=(λ，-1，

1

2

)．
由

m • NP =0 m • MP =0

得

(λ- 1 2 )x- 1 2 y+z=0 λx-y+ 1 2 z=0

，令x=3，得

m

=(3，2λ+1，2(1-λ))，|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m || n |

=

|2(1-λ)|

9+(2λ+1)2+4(1-λ)2

=

2

2

，
解得λ=-

1

2

，故點(diǎn)P在B1A1的延長線上，且|A1P|=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的應(yīng)用，二面角的向量求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．