已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點O,焦點F在x軸正半軸上,傾斜角為銳角的直線l過F點,設(shè)直線l與拋物線交于A、B兩點,與拋物線的準(zhǔn)線交于M點,
MF
FB
(λ>0)
(1)若λ=1,求直線l斜率
(2)若點A、B在x軸上的射影分別為A1,B1且|
B1F
|,|
OF
|,2|
A1F
|成等差數(shù)列求λ的值
(3)設(shè)已知拋物線為C1:y2=x,將其繞頂點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°變成C1′.圓C2:x2+(y-4)2=1的圓心為點N.已知點P是拋物線C1′上一點(異于原點),過點P作圓C2的兩條切線,交拋物線C′1于T,S,兩點,若過N,P兩點的直線l垂直于TS,求直線l的方程.
依題意設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的斜率為k,k>0,M的縱坐標(biāo)為y0
則F(
p
2
,0)準(zhǔn)線方程為x=-
p
2

直線l的方程為y=k(x-
p
2
),M(-
p
2
,y0),y2>0
MF
FB
,∴(p,-y0)=λ(x2-
p
2
,y0),故p=λ(x2-
p
2

(1)若λ=1,由p=λ(x2-
p
2
),y22=2px2,y2>0,得x2=
3p
2
,y2=
3
p,
∴B(
3p
2
,
3
p)
∴直線l的斜率k=
3
p
3p
2
-
p
2
=
3

(2)直線l的方程代入y2=2px,消去y,可得k2x2-(k2p+2p)x+
k2p2
4
=0,則x1x2=
p2
4

x2=
p
λ
+
p
2
,∴x1=
p2
4x2
=
λp
2λ+4

∵|
B1F
|,|
OF
|,2|
A1F
|成等差數(shù)列
∴2|
OF
|=|
B1F
|+2|
A1F
|,
(x2-
p
2
)+2(
p
2
-x1)=p

∴x2-2x1=
p
2

x2=
p
λ
+
p
2
x1=
λp
2λ+4
代入上式得
1
λ
=
λ
λ+2
,∴λ=2;
(3)設(shè)P(x0,x02),S(x1,x12),T(x2,x22),由題意得x0≠0,x0≠±1,x1≠x2
設(shè)過點P的圓C2的切線方程為y-x02=k(x-x0),即y=kx-kx0+x02.①
|kx0+4-x02|
1+k2
=1,
即(x02-1)k2+2x0(4-x02)k+(x02-4)2-1=0.
設(shè)PS,PT的斜率為k1,k2(k1≠k2),則k1,k2是上述方程的兩根,所以
k1+k2=
2x0(x02-4)
x02-1
,k1k2=
(x02-4)2-1
x02-1

將①代入y=x2,得x2-kx+kx0-x02=0,
由于x0是此方程的根,故x1=k1-x0,x2=k2-x0,
所以kST=
x12-x22
x1-x2
=x1+x2=k1+k2-2x0=
2x0(x02-4)
x02-1
-2x0,kNP=
x02-4
x0

由MP⊥AB,得kNP•kST=[
2x0(x02-4)
x02-1
-2x0]•
x02-4
x0
=-1,解得x02=
23
5
,
即點P的坐標(biāo)為(±
23
5
,
23
5
),所以直線l的方程為y=±
3
115
115
x+4
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點.若點在雙曲線上,且,則                       .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分13分)已知點是橢圓上的一點,,是橢圓的兩個焦點,且滿足.(Ⅰ)求橢圓的方程及離心率;(Ⅱ)設(shè)點,是橢圓上的兩點,直線,的傾斜角互補(bǔ),試判斷直線的斜率是否為定值?并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

橢圓C1的焦點在x軸上,中心是坐標(biāo)原點O,且與橢圓C2
x2
12
+
y2
4
=1
的離心率相同,長軸長是C2長軸長的一半.A(3,1)為C2上一點,OA交C1于P點,P關(guān)于x軸的對稱點為Q點,過A作C2的兩條互相垂直的動弦AB,AC,分別交C2于B,C兩點,如圖.

(1)求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求Q點坐標(biāo);
(3)求證:B,Q,C三點共線.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點,點A是長軸的一個頂點,BC過橢圓中心O,如圖,且
AC
BC
=0
,|BC|=2|AC|.
(1)求橢圓的方程;
(2)如果橢圓上兩點P、Q使∠PCQ的平分線垂直AO,則總存在實數(shù)λ,使
PQ
AB
,請給出證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知動點P(x,y)滿足,
x2+y2-4x+6y+13
+
x2+y2+6x+4y+13
=
26
,則
y-1
x-3
取值范圍( 。
A.(-∞,
1
2
]∪[4,+∞)
B.(-∞,
1
4
]∪[2+∞)
C.[
1
2
,4]
D.[
1
4
,2]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(文)如圖,O為坐標(biāo)原點,過點P(2,0)且斜率為k的直線l交拋物線y2=2x于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點.
(1)求x1x2與y1y2的值;
(2)求證:OA⊥OB.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知雙曲線的兩條漸近線方程是y=x和y=-x,且過點D(
2
,
3
)
.l1,l2是過點P(-
2
,0)
的兩條互相垂直的直線,且l1,l2與雙曲線各有兩個交點,分別為A1,B1和A2,B2
(1)求雙曲線的方程;
(2)求l1斜率的范圍
(3)若|A1B1|=
5
|A2B2|
,求l1的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

拋物線y2=2px(p>0)與雙曲線有相同焦點F,點A是兩曲線交點,且AF⊥x軸,則雙曲線的離心率為                                                                   ( )
A.B.C.D.

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同步練習(xí)冊答案