Question

（本小題滿分13分）某市某棚戶區(qū)改造建筑用地平面示意圖如圖所示．經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定，棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似地為半徑是R的圓面．該圓面的內(nèi)接四邊形是原棚戶建筑用地，測量可知邊界萬米，萬米，萬米．

（1）請計(jì)算原棚戶區(qū)建筑用地的面積及圓面的半徑的值；

（2）因地理?xiàng)l件的限制，邊界、不能變更，而邊界、可以調(diào)整，為了提高棚戶區(qū)改造建筑用地的利用率，請?jiān)趫A弧上設(shè)計(jì)一點(diǎn)；使得棚戶區(qū)改造的新建筑用地的面積最大，并求最大值．

 

Answer 1

（1）萬米；（2）9萬平方米．

【解析】

試題分析：（1）連接AC，根據(jù)余弦定理求得cos∠ABC的值，進(jìn)而求得∠ABC，然后利用三角形面積公式分別求得△ABC和△ADC的面積，二者相加即可求得四邊形ABCD的面積，在△ABC中，由余弦定理求得AC，進(jìn)而利用正弦定理求得外接圓的半徑．

（2）設(shè)AP=x，CP=y．根據(jù)余弦定理求得x和y的關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)均值不等式求得xy的最大值，進(jìn)而求得△APC的面積的最大值，與△ADC的面積相加即可求得四邊形APCD面積的最大值．

試題解析： （1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于圓，

所以∠ABC＋∠ADC＝180°，連接AC，由余弦定理：

AC2＝42＋62－2×4×6×cos∠ABC＝42＋22－2×2×4cos∠ADC.

所以cos∠ABC＝，∵∠ABC∈（0，π），故∠ABC＝60°.

S四邊形ABCD＝×4×6×s1n60°＋×2×4×s1n120°

＝8 （萬平方米）． 3分

在△ABC中，由余弦定理：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC=16+36-246=28

由正弦定理，得

．

∴R＝ （萬米） 7分

（2）∵S四邊形APCD＝S△ADC＋S△APC，又S△ADC＝AD·CD·s1n120°＝2，

設(shè)AP＝x，CP＝y(tǒng).則S△APC＝xy·s1n60°＝xy. 9分

又由余弦定理AC2＝x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝28.

∴x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy.

∴xy≤28，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號 11分

∴S四邊形APCD＝2＋xy≤2＋×28＝9，

∴最大面積為9萬平方米． 13分

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用．