【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為， ，且經(jīng)過點.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）的頂點都在橢圓上，其中關(guān)于原點對稱，試問能否為正三角形？并說明理由.

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 不可能為正三角形，理由見解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)設(shè)橢圓的標準方程為，依題意得，利用橢圓的定義可得，則橢圓的標準方程為.

(Ⅱ)若為正三角形，則且，

顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得， ，則，同理可得.據(jù)此可得關(guān)于實數(shù)k的方程，方程無解，則不可能為正三角形.

試題解析：

(Ⅰ)設(shè)橢圓的標準方程為，

依題意得，

，

所以， ，

故橢圓的標準方程為.

(Ⅱ)若為正三角形，則且，

顯然直線的斜率存在且不為0，

設(shè)方程為，

則的方程為，聯(lián)立方程，

解得， ，

所以，

同理可得.

又，所以，

化簡得無實數(shù)解，

所以不可能為正三角形.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C： +y2=1與直線l：y=kx+m相交于E、F兩不同點，且直線l與圓O：x2+y2= 相切于點W（O為坐標原點）．
（1）證明：OE⊥OF；
（2）設(shè)λ= ，求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓 的右準線方程為，又離心率為，橢圓的左頂點為，上頂點為，點為橢圓上異于任意一點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證： 為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為圓上的動點， 的坐標為， 在線段的中點.

（Ⅰ）求的軌跡的方程.

（Ⅱ）過點的直線與交于兩點，且，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在△ABC和△ACD中，∠ACB=∠ADC=90°，∠BAC=∠CAD，⊙O是以AB為直徑的圓，DC的延長線與AB的延長線交于點E．
（Ⅰ）求證：DC是⊙O的切線；
（Ⅱ）若EB=6，EC=6 ，求BC的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中， 兩兩垂直且相等，過的中點作平面∥，且分別交PB，PC于M、N，交的延長線于．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓C： =1的離心率e= ，動點P在橢圓C上，點P到橢圓C的兩個焦點的距離之和是4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若橢圓C1的方程為 =1（m＞n＞0），橢圓C2的方程為 =λ（λ＞0，且λ≠1），則稱橢圓C2是橢圓C1的λ倍相似橢圓．已知橢圓C2是橢圓C的3倍相似橢圓．若過橢圓C上動點P的切線l交橢圓C2于A，B兩點，O為坐標原點，試證明當切線l變化時|PA|=|PB|并研究△OAB面積的變化情況．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓的圓心在直線上，且圓經(jīng)過點與點.

（1）求圓的方程；

（2）過點作圓的切線，求切線所在的直線的方程.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】試題分析：（1）求出線段的中點，進而得到線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得交點，∴.則圓的方程可求

（2）當切線斜率不存在時，可知切線方程為.

當切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，由到此直線的距離為，解得，即可到切線所在直線的方程.

試題解析：（（1）設(shè) 線段的中點為，∵，

∴線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得交點，

∴.

∴圓的方程為.

（2）當切線斜率不存在時，切線方程為.

當切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，即，

則到此直線的距離為，解得，∴切線方程為.

故滿足條件的切線方程為或.

【點睛】本題考查圓的方程的求法，圓的切線，中點弦等問題，解題的關(guān)鍵是利用圓的特性，利用點到直線的距離公式求解．

【題型】解答題
【結(jié)束】
20

【題目】某小型企業(yè)甲產(chǎn)品生產(chǎn)的投入成本（單位：萬元）與產(chǎn)品銷售收入（單位：萬元）存在較好的線性關(guān)系，下表記錄了最近5次產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù).

（投入成本）

7

10

11

15

17

（銷售收入）

19

22

25

30

34

（1）求關(guān)于的線性回歸方程；

（2）根據(jù)（1）中的回歸方程，判斷該企業(yè)甲產(chǎn)品投入成本20萬元的毛利率更大還是投入成本24萬元的毛利率更大（）？

相關(guān)公式： ， .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)對男女學(xué)生是否喜愛古典音樂進行了一個調(diào)查，調(diào)查者對學(xué)校高三年級隨機抽取了100名學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如表：

喜愛

不喜愛

總計

男學(xué)生

60

80

女學(xué)生

總計

70

30

附：K2=

P（K2≥k0）

0.100

0.050

0.010

k0

2.706

3.841

6.635


（1）完成如表，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有95%的把握認為“男學(xué)生和女學(xué)生喜歡古典音樂的程度有差異”；
（2）從以上被調(diào)查的學(xué)生中以性別為依據(jù)采用分層抽樣的方式抽取10名學(xué)生，再從這10名學(xué)生中隨機抽取5名學(xué)生去某古典音樂會的現(xiàn)場觀看演出，求正好有X個男生去觀看演出的分布列及期望．

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