Question

【題目】已知橢圓：．

（1）若拋物線的焦點與的焦點重合，求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若的上頂點、右焦點及軸上一點構(gòu)成直角三角形，求點的坐標(biāo)；

（3）若為的中心，為上一點(非的頂點)，過的左頂點，作，交軸于點，交于點，求證：．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為和．

（2）或．

（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的方程和拋物線的性質(zhì)即可求出；

（2）按哪個角為直角進(jìn)行分類，結(jié)合數(shù)量積為0，計算得到M的坐標(biāo).

（3）由B（﹣3，0），BQ∥OP，設(shè)直線BQ的方程為x＝my﹣3，直線OP的方程為x＝my，分別于橢圓的方程聯(lián)立，求出點Q，N，P的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的運(yùn)算即可證明.

(1) 橢圓的焦點坐標(biāo)為和，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為和．

(2)設(shè)點的坐標(biāo)為，的上頂點的坐標(biāo)為，右焦點的坐標(biāo)為．

當(dāng)為直角頂點時，點的坐標(biāo)為；

當(dāng)為直角頂點時，，，由，解得，點的坐標(biāo)為．

因此，點的坐標(biāo)為或．

(3)設(shè)直線的方程為()，直線的方程為．

于是點，的坐標(biāo)，為方程組的實數(shù)解，

解得點的坐標(biāo)為．

點，的坐標(biāo)，為方程組的實數(shù)解，解得點的坐標(biāo)為．

又點的坐標(biāo)為．

于是，，，

，

，

即，得證．