已知函數(shù),,.
(1)若在存在極值,求的取值范圍;
(2)若,問是否存在與曲線和都相切的直線?若存在,判斷有幾條?并求出公切線方程,若不存在,說明理由。
(1)(2)存在一條公切線,切線方程為:
解析試題分析:(Ⅰ) 依題有:則在上有變號零點;
令,則
當,則;當,則
因此,在處取得極小值。 3分
而,,
易知,
①當存在兩個變號零點時,,可得:
② 當存在一個變號零點時,,可得:
綜上,當在上存在極值時,的范圍為: 6分
(Ⅱ) 當時,,
易知是與的一個公共點。
若有公共切線,則必為切點,∵,∴
可知在處的切線為
而,∴則
可知在處的切線也為
因此,存在一條公切線,切線方程為:。 12分
考點:函數(shù)單調性極值最值
點評:函數(shù)在某區(qū)間有極值,則在區(qū)間上有變號零點,轉化為導函數(shù)最大值最小值一正一負,第二問找到兩函數(shù)的公共點是求解的關鍵,只需求在該點處的兩條切線看其是否相同
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,一矩形鐵皮的長為8cm,寬為5cm,在四個角上截去四個相同的小正方形,制成一個無蓋的小盒子,問小正方形的邊長為多少時,盒子容積最大?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)在處取得極值.
(1)求實數(shù)的值;
(2)若關于的方程在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍;
(3)證明:對任意的正整數(shù),不等式都成立.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知二次函數(shù)和“偽二次函數(shù)” .
(Ⅰ)證明:只要,無論取何值,函數(shù)在定義域內不可能總為增函數(shù);
(Ⅱ)在同一函數(shù)圖像上任意取不同兩點A(),B(),線段AB中點為C(),記直線AB的斜率為k.
(1)對于二次函數(shù),求證;
(2)對于“偽二次函數(shù)” ,是否有(1)同樣的性質?證明你的結論。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù) .
(Ⅰ)若曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線與直線x+y+1=0平行,求a的值;
(Ⅱ)若a>0,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,a 2-3)上存在極值,求a的取值范圍;
(Ⅲ)若a>2,求證:函數(shù)y=f(x)在(0,2)上恰有一個零點.
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已知函數(shù) .
(Ⅰ)若a>0,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,a 2-3)上存在極值,求a的取值范圍;
(Ⅱ)若a>2,求證:函數(shù)y=f(x)在(0,2)上恰有一個零點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設定函數(shù) (>0),且方程的兩個根分別為1,4。
(Ⅰ)當=3且曲線過原點時,求的解析式;
(Ⅱ)若在無極值點,求a的取值范圍。
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