(本小題滿分12分)如圖,已知平面平行于三棱錐的底面,等邊三角形所在平面與面垂直,且,設(shè)
(Ⅰ)證明:為異面直線的公垂線;
(Ⅱ)求點(diǎn)與平面的距離;
(Ⅲ)求二面角的大小。
(Ⅰ)略   (Ⅱ)   (Ⅲ)
法一:


(Ⅰ)證明:∵平面∥平面

又∵平面平面,平面平面
平面
又∵
的公垂線。
(Ⅱ)過,
為正三角形,
中點(diǎn),
平面

又∵
平面
∴線段的長即為到平面的距離
在等邊三角形中,
∴點(diǎn)到平面的距離為。
(Ⅲ)過,連結(jié)
由三垂線定理知
是二面角的平面角
中,,
,∴
所以,二面角的大小為。
法二:取中點(diǎn),連結(jié),易知平面,
作直線
為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),、所在直線分別為如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則

(Ⅰ)

,∴,
又∵,由已知,

的公垂線。
(Ⅱ)設(shè)是平面的一個(gè)法向量,又,
,即,令,則
設(shè)所求距離為,
∴點(diǎn)到平面的距離為。
(Ⅲ)設(shè)平面的一個(gè)法向量為,又
,則
,設(shè)二面角,

又二面角為銳角
二面角的大小為。
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A.B.
C.D.

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