【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓的右焦點、右頂點分別為F,A,過原點的直線與橢圓C交于點P、Q(點P在第一象限內(nèi)),連結(jié)PA,QF.若,的面積是面積的3倍.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)已知M為線段PA的中點,連結(jié)QA,QM.
①求證:Q,F,M三點共線;
②記直線QP,QM,QA的斜率分別為,,,若,求的面積.
【答案】(1)(2)①見解析②4
【解析】
(1)根據(jù)可得,又的面積是面積的3倍,所以,再聯(lián)立求解基本量即可.
(2) 設(shè),再表示出,關(guān)于的表達式,化簡證明即可.
(3)由 可得,代入橢圓可得,進而求出
(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c.
因為,所以.
設(shè),則的面積為.
過原點的直線與橢圓C交于點P,Q,
所以,
故的面積為.
因為的面積是面積的3倍,
所以,
解得,,,
所以橢圓C的標準方程為.
(2)①因為,所以.
因為,
所以,,
故Q,F,M三點共線.
②因為,,,且,
所以
化簡得,
解得或(舍去),
代入中,得
因為點P在第一象限內(nèi),所以,故.
因為M為線段PA的中點,所以.
因為O為線段PQ的中點,
所以,
故.
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【題目】某市在開展創(chuàng)建“全國文明城市”活動中,工作有序扎實,成效顯著,尤其是城市環(huán)境衛(wèi)生大為改觀,深得市民好評.“創(chuàng)文”過程中,某網(wǎng)站推出了關(guān)于環(huán)境治理和保護問題情況的問卷調(diào)查,現(xiàn)從參與問卷調(diào)查的人群中隨機選出200人,并將這200人按年齡分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求出a的值;
(2)若已從年齡較小的第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人,現(xiàn)要再從這5人中隨機抽取3人進行問卷調(diào)查,設(shè)第2組抽到人,求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】如圖,在四面體A-BCD中,已知平面平面BCD,為正三角形,為等腰直角三角形,其中C為直角頂點,E,F分別為校AC,AD的中點.
(1)求證:平面BEF;
(2)求證:平面ACD.
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【題目】在傳染病學中,通常把從致病刺激物侵人機體或者對機體發(fā)生作用起,到機體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時止的這一階段稱為潛伏期. 一研究團隊統(tǒng)計了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息,得到如下表格:
潛伏期(單位:天) | |||||||
人數(shù) |
(1)求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)x (同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表) ;
(2)該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響,為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系,以潛伏期是否超過6天為標準進行分層抽樣,從上述1000名患者中抽取200人,得到如下列聯(lián)表.請將列聯(lián)表補充完整,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認為潛伏期與患者年齡有關(guān);
潛伏期天 | 潛伏期天 | 總計 | |
歲以上(含歲) | |||
歲以下 | |||
總計 |
(3)以這1000名患者的潛伏期超過6天的頻率,代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過6天發(fā)生的概率,每名患者的潛伏期是否超過6天相互獨立,為了深入研究,該研究團隊隨機調(diào)查了20名患者,其中潛伏期超過6天的人數(shù)最有可能(即概率最大)是多少?
附:
,其中.
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD是正方形,AE⊥平面ABCD,PD∥AE,PD=AD=2EA=2,G,F,H分別為BE,BP,PC的中點.
(1)求證:平面ABE⊥平面GHF;
(2)求直線GH與平面PBC所成的角θ的正弦值.
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【題目】某班同學在假期進行社會實踐活動,對歲的人群隨機抽取n人進行了一次當前投資生活方式——“房地產(chǎn)投資”的調(diào)查,得到如下統(tǒng)計和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖:
(Ⅰ)求,,的值;
(Ⅱ)從年齡在歲的“房地產(chǎn)投資”人群中采取分層抽樣法抽取9人參加投資管理學習活動,其中選取3人作為代表發(fā)言,記選取的3名代表中年齡在歲的人數(shù)為,求的分布列和期望.
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【題目】如圖,在四棱錐中,,,平面平面PAD,E是的中點,F是DC上一點,G是PC上一點,且,.
(1)求證:平面平面PAB;
(2)若,,求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.
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【題目】某項針對我國《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》的研究中,列出各個學段每個主題所包含的條目數(shù)(如下表),下圖是統(tǒng)計表的條目數(shù)轉(zhuǎn)化為百分比,按各學段繪制的等高條形圖,由圖表分析得出以下四個結(jié)論,其中錯誤的是( )
A.除了“綜合實踐”外,其它三個領(lǐng)域的條目數(shù)都隨著學段的升高而增加,尤其“圖象幾何” 在第三學段增加較多,約是第二學段的倍.
B.所有主題中,三個學段的總和“圖形幾何”條目數(shù)最多,占50%,綜合實踐最少,約占4% .
C.第一、二學段“數(shù)與代數(shù)”條目數(shù)最多,第三學段“圖形幾何”條目數(shù)最多.
D.“數(shù)與代數(shù)”條目數(shù)雖然隨著學段的增長而增長,而其百分比卻一直在減少.“圖形幾何”條目數(shù),百分比都隨學段的增長而增長.
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