Question

過拋物線y=-x²+4x-3及其在點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0）處的切線所圍成的圖形的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分在求面積中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合A（1，0），B（3，0）都在拋物線上，即可求出切線的方程，然后可得直線與拋物線的交點(diǎn)的坐標(biāo)和兩切線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，最后根據(jù)定積分在求面積中的應(yīng)用公式即可求得所圍成的面積S即可．

解答： 解：對y=-x²+4x-3求導(dǎo)可得，y′=-2x+4
∴拋物線y=-x²+4x-3及其在點(diǎn)A（1，0）和B（3，0）處的兩條切線的斜率分別為2，-2
從而可得拋物線y=-x²+4x-3在點(diǎn)A（1，0）和B（3，0）處的兩條切線方程分別為
l₁：2x-y-2=0，l₂：2x+y-6=0
由

y=2x-2 y=-2x+6

，求得交點(diǎn)C（2，2）．
所以S=S_△ABC-

∫

3 1

（-x²+4x-3）dx=

1

2

×2×2-（-

1

3

x3+2x2-3x）|

3 1

=2-

4

3

=

2

3

；
故答案為：

2

3

點(diǎn)評：本題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、定積分在求面積中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．