Question

已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且（2n-1）S_n+1-（2n+1）S_n=4n²-1（x∈N⁺）．
（Ⅰ）證明：數列{

Sn

2n-1

}是等差數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（I）由（2n-1）S_n+1-（2n+1）S_n=4n²-1（x∈N⁺）．變形為

Sn+1

2n+1

-

Sn

2n-1

=1，即可證明；
（II）由（I）可得：

Sn

2n-1

=a1+n-1，可得S_n=（2n-1）a₁+（n-1）（2n-1），當n≥2時，S_n-1=（2n-3）a₁+（n-2）（2n-3），兩式相減可得a_n=2a₁+4n-5．利用數列{a_n}為等差數列，即可得出．

解答： （I）證明：∵（2n-1）S_n+1-（2n+1）S_n=4n²-1（x∈N⁺）．
∴

Sn+1

2n+1

-

Sn

2n-1

=1，

S1

2-1

=a₁．
∴數列{

Sn

2n-1

}是等差數列；
（II）解：由（I）可得：

Sn

2n-1

=a1+n-1，
∴S_n=（2n-1）a₁+（n-1）（2n-1），
當n≥2時，S_n-1=（2n-3）a₁+（n-2）（2n-3），
∴a_n=2a₁+4n-5．
由于數列{a_n}為等差數列，∴a₁=2a₁-1，解得a₁=1．
∴a_n=4n-3．

點評：本題考查了等差數列的定義及其通項公式、遞推式的應用，考查了轉化能力與計算能力，屬于中檔題．