設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,對任意的n∈N+,都有Sn=(m+1)-man(m為正常數(shù)).
(1)求證:{an}是等比數(shù)列;
(2)數(shù)列{bn}滿足:b1=2a1,bn=
bn+1
1+bn-1
(n≥2,n∈N+),求數(shù)列{bn}的通項公式;
(3)在滿足(2)的條件下,求數(shù)列{
2n+1
bn
}
的前n項和Tn
分析:(1)由已知求出Sn+1=(m+1)-man+1,與Sn=(m+1)-man相減整理后可得
an+1
an
=
m
m+1
為定值,進而根據(jù)等比數(shù)列定義可得結(jié)論;
(2)由已知求出b1,再由bn=
bn-1
1+bn-1
分離常數(shù)后構(gòu)造新數(shù)列{
1
bn
},可得數(shù)列{
1
bn
}是一個以
1
2
為首項,以1為公式差的等差數(shù)列,進而求出數(shù)列{bn}的通項公式;
(3)根據(jù)(2)的結(jié)論,利用錯位相減法,可得數(shù)列{
2n+1
bn
}的前n項和Tn
解答:證明:(1)∵Sn=(m+1)-man…①
∴Sn+1=(m+1)-man+1,…②
②-①得
an+1=-man+1+man,即(m+1)an+1=man
即∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
解:(2)∵n≥2,n∈N*時,bn=
bn-1
1+bn-1
,
∴bn•bn-1=bn-1-bn
1
bn
-
1
bn-1
=1
又∵n=1時,S1=a1=(m+1)-ma1,
∴a1=1,b1=2a1=2,
1
b1
=
1
2
,
∴數(shù)列{
1
bn
}是一個以
1
2
為首項,以1為公式差的等差數(shù)列
1
bn
=n-
1
2
,∴bn=
2
2n-1

(3)∵
2n+1
bn
=(2n-1)2n
∴Tn=1•21+3•22+5•23…+(2n-1)2n…①
2Tn=1•22+3•23…+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1…②
②-①得:
Tn=-2-2(22+23…+2n)+(2n-1)2n+1
=6+(2n-3)2n+1
點評:本題是數(shù)列問題比較經(jīng)典的考題,是高考試卷考查數(shù)列的常見題型,首先要根據(jù)定義法,迭代法、構(gòu)造數(shù)列法等求出數(shù)列的通項公式,再利用裂項法,錯位相減法等求數(shù)列的前n項和.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,Sn=(-1)nan-
1
2n
,n∈N+,則a2+a4+a6+…+a100=
1
3
(1-
1
2100
)
1
3
(1-
1
2100
)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,Sn=λan-1(λ為常數(shù),n=1,2,3,…).
(I)若a3=a22,求λ的值;
(II)是否存在實數(shù)λ,使得數(shù)列{an}是等差數(shù)列?若存在,求出λ的值;若不存在.請說明理由
(III)當(dāng)λ=2時,若數(shù)列{bn}滿足bn+1=an+bn(n=1,2,3,…),且b1=
3
2
,令cn=
an
(an+1) bn
,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•杭州二模)在等差數(shù)列{an},等比數(shù)列{bn}中,a1=b1=1,a2=b2,a4=b3≠b4
(Ⅰ)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,求anbn和Sn;
(Ⅱ)設(shè)Cn=
anbnSn+1
(n∈N*),Rn=C1+C2+…+Cn,求Rn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,Sn=n2+pn,n∈N*,其中p是實數(shù).
(1)若數(shù)列{
Sn
}
為等差數(shù)列,求p的值;
(2)若對于任意的m∈N*,am,a2m,a4m成等比數(shù)列,求p的值;
(3)在(2)的條件下,令b1=a1,bn=a2n-1,其前n項和為Tn,求Tn關(guān)于n的表達式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前N項和,且有S1=a,Sn+Sn-1=3n2,n=2,3,4,…
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,求a的取值范圍.

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