Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S_n=（-1）ⁿa_n-

1

2n

，n∈N⁺，則a₂+a₄+a₆+…+a₁₀₀=

1

3

(1-

1

2100

)

．

Answer 1

分析：由S_n=（-1）ⁿa_n-

1

2n

，得Sn-1=(-1)n-1an-1-

1

2n-1

（n≥2），兩式相減可得遞推式，分n為偶數(shù)、奇數(shù)可得奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，從而可得答案．

解答：解：由S_n=（-1）ⁿa_n-

1

2n

，得Sn-1=(-1)n-1an-1-

1

2n-1

（n≥2），
兩式相減得，an=(-1)nan-(-1)n-1an-1+

1

2n

，即[1+（-1）ⁿ⁺¹]a_n=(-1)nan-1+

1

2n

(n≥2)，
當(dāng)n=2k（k∈N₊）時，得a2k-1=-

1

22k

，即n為正奇數(shù)時，有an=-

1

2n+1

，；
當(dāng)n=2k+1（k∈N₊）時，得2a2k+1=-a2k+

1

22k+1

，由上式得，2（-

1

2k+2

）=-a_2k+

1

22k+1

，
所以a2k=

1

22k

，即n為正偶數(shù)時，an=

1

2n

，
所以a₂，a₄，a₆，…a₁₀₀構(gòu)成以

1

4

為首項(xiàng)，

1

4

為公比的等比數(shù)列，
所以

1 4 (1- 1 450 )

1- 1 4

=

1

3

(1-

1

2100

)，
故答案為：

1

3

(1-

1

2100

)．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式、數(shù)列求和，考查學(xué)生的推理論證能力，解決本題的關(guān)鍵是要根據(jù)問題進(jìn)行分類討論求得通項(xiàng)．