Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前N項(xiàng)和，且有S₁=a，S_n+S_n-1=3n²，n=2，3，4，…
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)S_n+S_n-1=3n²，則S_n+1+S_n=3（n+1）²，兩式作差，再遞推作差可得數(shù)列{a_2k}和{a_2k+1}分別是以a₂，a₃為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，從而可求出通項(xiàng)；
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，則a₁＜a₂且a_2k＜a_2k+1＜a_2k+2對(duì)任意的k∈N^*成立，從而可建立關(guān)于a的不等式，解之即可求出a的取值范圍．

解答：解（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，由已知S_n+S_n-1=3n² …①
于是S_n+1+S_n=3（n+1）² …②
由②-①得a_n+1+a_n=6n+3…③
于是a_n+2+a_n+1=6n+9 …④
由④-③得a_n+2-a_n=6…⑤
上式表明：數(shù)列{a_2k}和{a_2k+1}分別是以a₂，a₃為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列．
又由①有S₂+S₁=12，∴a₂=12-2a，
由③有a₃+a₂=15，a₄+a₃=21，∴a₃=3+2a，a₄=18-2a，
∴a_2k=a₂+6（k-1）=12-2a+6（k-1）（k∈N^*），
a₁=a，a_2k+1=a₃+6（k-1）=3+2a+6（k-1）（k∈N^*），
（Ⅱ）∵數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，
∴a₁＜a₂且a_2k＜a_2k+1＜a_2k+2對(duì)任意的k∈N^*成立，
∴a₁＜a₂且a₂+6（k-1）＜a₃+6（k-1）＜a₄+6（k-1），
∴a₁＜a₂＜a₃＜a₄，則a＜12-2a＜3+2a＜18-2a，
解得：

9

4

＜a＜

15

4

．
∴a的取值范圍是

9

4

＜a＜

15

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，以及數(shù)列的單調(diào)性，同時(shí)考查了運(yùn)算求解能力，推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，屬于難題．