Question

已知點(diǎn)和圓：．

（Ⅰ）過點(diǎn)的直線被圓所截得的弦長為，求直線的方程；
（Ⅱ）試探究是否存在這樣的點(diǎn)：是圓內(nèi)部的整點(diǎn)（平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)），且△OEM的面積？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）方程為：或；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)所求直線的斜率不存在時(shí)，弦長為，符合要求.此時(shí)直線方程為：；若斜率在時(shí)，可設(shè)直線的斜率為，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線方程，求出圓心到直線的距離，再由勾股定理得到：，解得；（Ⅱ）連結(jié),求出圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn).并連結(jié),得到，因此要使，那么點(diǎn)必在經(jīng)過點(diǎn),且與直線平行的直線上.結(jié)合點(diǎn)所在象限，可以求出為.
試題解析：（Ⅰ）當(dāng)所求直線的斜率不存在時(shí)，弦長為，符合要求,此時(shí)；
若直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，那么直線的方程為：.
所以圓心到直線的距離，又因?yàn)榘霃?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824025843048381.png" style="vertical-align:middle;" />弦長為.
所以，解得：.
所以所求直線方程為：或；
（Ⅱ）連結(jié)，點(diǎn)滿足,
過，作直線的平行線．
∵
∴直線、的方程分別為：
、
設(shè)點(diǎn) （且）
∴
分別解與，得 與
∵∴為偶數(shù)，在上對應(yīng)的
在上，對應(yīng)的
∴滿足條件的點(diǎn)存在，共有6個(gè)，它們的坐標(biāo)分別為：
．