Question

【題目】已知f（x）=ex﹣x．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若對x≥0，恒有f（x）≥ax2+1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ex﹣x，

∴f′（x）=ex﹣1，

當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

當(dāng)x＜0時，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減

（2）解：∵對x≥0，恒有f（x）≥ax2+1，

∴ex﹣x﹣ax2﹣1≥0，

令g（x）=ex﹣1﹣x﹣ax2，則x≥0，有g(shù)（x）≥0，

∵g（0）=0，∴m＞0，使得g（x）在（0，m）上單調(diào)遞增，

∴在（0，t）上，g'（0）=1﹣2a≥0，解得a ．

下面證明：當(dāng)a 時，x≥0，恒有g(shù)（x）≥0．

證明：由（1）得x≥0，有f（x）≥f（0）=0，

∴當(dāng)x∈[0，+∞）時，ex﹣1≥x，且僅當(dāng)x=0時，等號成立，

∴當(dāng)x≥0時，g′（x）=ex﹣1﹣2ax≥x﹣2ax=2x（ ）≥0，

且僅當(dāng)x=0時，等號成立，

∴g（x）在[0，+∞）遞增，

∴當(dāng)x∈[0，+∞）時，g（x）≥g（0）=0．

綜上，a的取值范圍是（﹣∞， ]

【解析】（1）由f′（x）=ex﹣1，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能討論f（x）的單調(diào)性．（2）令g（x）=ex﹣1﹣x﹣ax2 ， 則x≥0，有g(shù)（x）≥0，由g（0）=0，得m＞0，使得g（x）在（0，m）上單調(diào)遞增，由此能求出a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．