(1)已知點(diǎn)A(5,0),點(diǎn)B在直線(xiàn)y=6上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)C單位圓x2+y2=1運(yùn)動(dòng),求AB+BC的最小值及對(duì)應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo).
(2)點(diǎn)P在直線(xiàn)y=6上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)P作單位圓x2+y2=1的兩切線(xiàn),設(shè)兩切點(diǎn)為Q和R,求證:直線(xiàn)QR恒過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
分析:(1)如圖所示,作出點(diǎn)A(5,0)關(guān)于直線(xiàn)y=6的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′(5,12),則AB=A′B.可得AB+BC=A′B+BC,連接OA交直線(xiàn)y=6于點(diǎn)B,交⊙O于點(diǎn)C.則AB+BC的最小值=OA-r.
(2)利用圓的切線(xiàn)的性質(zhì)可得:兩個(gè)切點(diǎn)Q,R在以O(shè)P為的圓上,與x2+y2=1即可得到過(guò)兩個(gè)圓的交點(diǎn)Q,R的直線(xiàn)方程,再利用直線(xiàn)系的性質(zhì)即可得出直線(xiàn)所過(guò)的定點(diǎn).
解答:解:(1)如圖所示,作出點(diǎn)A(5,0)關(guān)于直線(xiàn)y=6的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′(5,12),則AB=A′B.
∴AB+BC=A′B+BC,
連接OA交直線(xiàn)y=6于點(diǎn)B,交⊙O于點(diǎn)C.
則AB+BC的最小值=OA-r=
52+122
-1
=12.
此時(shí)直線(xiàn)OA:y=
12
5
x,
令y=6,解得x=
5
2

B(
5
2
,6)
,.
∴AB+BC的最小值為12,對(duì)應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(
5
2
,6)

(2)設(shè)P(s,6),則OP的中點(diǎn)為M(
s
2
,3)

∴以點(diǎn)M為圓心,OM為半徑的圓的方程為:(x-
s
2
)2+(y-3)2=
s2
4
+9
,
化為x2-sx+y2-6y=0,
聯(lián)立
x2+y2=1
x2-sx+y2-6y=0
,
化為sx+6y-1=0即為過(guò)兩個(gè)圓的交點(diǎn)Q,R的直線(xiàn)方程..
聯(lián)立
x=0
y-
1
6
=0
,
解得
x=0
y=
1
6

∴直線(xiàn)QR恒過(guò)定點(diǎn)(0,
1
6
)
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、切線(xiàn)的性質(zhì)、圓的根軸的求法,屬于難題.
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