【題目】已知長方形中,,,現(xiàn)將長方形沿對角線折起,使,得到一個四面體,如圖所示.

(1)試問:在折疊的過程中,異面直線能否垂直?若能垂直,求出相應(yīng)的的值;若不垂直,請說明理由;

(2)當四面體體積最大時,求二面角的余弦值.

【答案】(1)1;(2).

【解析】

(1)若AB⊥CD,得AB⊥ACD,由于ABAC.,所以AB2a2BC,解得a2=1,成立;(2)四面體A﹣BCD體積最大時面ABD⊥BCD,以A為原點,在平面ACD中過OBD的垂線為x軸,ODy軸,OAz軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角A﹣CD﹣B的余弦值.

(1)若ABCD,因為ABAD,ADCDD,

所以AB⊥面ACDABAC.

由于AB=1, AD=BC= ,AC=,

由于ABAC.,所以AB2a2BC,

所以12a2=()2a=1,

所以在折疊的過程中,異面直線ABCD可以垂直,此時的值為1

(2)要使四面體ABCD體積最大,因為△BCD面積為定值,

所以只需三棱錐ABCD的高最大即可,此時面ABD⊥面BCD.

AAOBDO,則AO⊥面BCD

O為原點建立空間直角坐標系 (如圖),

則易知,

顯然,面BCD的法向量為 ,

設(shè)面ACD的法向量為n=(x,y,z),

因為

所以,y,得n=(1,,2),

故二面角ACDB的余弦值即為

.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】十三屆全國人大二次會議于201935日在京召開為了了解某校大學(xué)生對兩會的關(guān)注程度,學(xué)校媒體在開幕后的第二天,從全校學(xué)生中隨機抽取了180人,對是否收看2019年兩會開幕會情況進行了問卷調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:

收看

沒收看

男生

80

40

女生

30

30

1)根據(jù)上表說明,在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,能否認為該校大學(xué)生收看開幕會與性別有關(guān)?(計算結(jié)果精確到0.001

2)現(xiàn)從隨機抽取的學(xué)生中,采用按性別分層抽樣的方法選取6人,來參加2019年兩會的志愿者宣傳活動,若從這6人中隨機選取2人到各班級宣傳介紹,求恰好選到一名男生和一名女生的概率. ,其中.

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若函數(shù)f(x)=﹣x﹣cos2x+m(sinx﹣cosx)在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞減,則m的取值范圍是____________

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】綠水青山就是金山銀山的生態(tài)文明發(fā)展理念已經(jīng)深入人心,這將推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展.下表是近幾年我國某地區(qū)新能源乘用車的年銷售量與年份的統(tǒng)計表:

某機構(gòu)調(diào)查了該地區(qū)30位購車車主的性別與購車種類情況,得到的部分數(shù)據(jù)如下表所示:

(1)求新能源乘用車的銷量關(guān)于年份的線性相關(guān)系數(shù),并判斷是否線性相關(guān);

(2)請將上述列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有的把握認為購車車主是否購置新能源乘用車與性別有關(guān);

(3)若以這30名購車車主中購置新能源乘用車的車主性別比例作為該地區(qū)購置新能源乘用車的車主性別比例,從該地區(qū)購置新能源乘用車的車主中隨機選取50人,記選到女性車主的人數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望與方差.

參考公式:

,,其中.,若,則可判斷線性相交.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】新中國昂首闊步地走進2019年,迎來了她70歲華誕.某平臺組織了偉大的復(fù)興之路一新中國70周年知識問答活動,規(guī)則如下:共有30道單選題,每題4個選項中只有一個正確,每答對一題獲得5顆紅星,每答錯一題反扣2顆紅星;若放棄此題,則紅星數(shù)無變化.答題所獲得的紅星可用來兌換神秘禮品,紅星數(shù)越多獎品等級越高.小強參加該活動,其中有些題目會做,有些題目可以排除若干錯誤選項,其余的題目則完全不會.

1)請問:對于完全不會的題目,小強應(yīng)該隨機從4個選項中選一個作答,還是選擇放棄?(利用統(tǒng)計知識說明理由)

2)若小強有12道題目會做,剩下的題目中,可以排除一個錯誤選項、可以排除兩個錯誤選項和完全不會的題目的數(shù)量比是.請問:小強在本次活動中可以獲得最多紅星數(shù)的期望是多少?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)若不等式恒成立,求的最小值;

2)證明:.

3)設(shè)方程的實根為.若存在,,,使得,證明:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù) .

(1)當時,求函數(shù)的極值;

(2)當時,討論函數(shù)的單調(diào)性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知直線與拋物線交于,兩點,且的面積為16為坐標原點).

1)求的方程;

2)直線經(jīng)過的焦點不與軸垂直,與交于,兩點,若線段的垂直平分線與軸交于點,證明:為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線經(jīng)過點,過點作直線兩點,、分別交直線兩點.

1)求的方程和焦點坐標;

2)設(shè),求證:為定值.

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