已知函數(shù)f(x)=+aln(x-1)(a∈R).
(Ⅰ)若f(x)在[2,+∞)上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)當a=2時,求證:1-<2ln(x-1)<2x-4(x>2);
(Ⅲ)求證:+…+<lnn<1++ +(n∈N*,且n≥2).

(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)詳見解析.

解析試題分析:(Ⅰ) 利用導數(shù)分析單調(diào)性,把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值;(Ⅱ)利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性可求;(Ⅲ)
利用放縮法和數(shù)列求和可證.
試題解析:(Ⅰ)由已知,得f(x)=-1++aln(x-1),
求導數(shù),得f ′(x)=-
∵f(x)在[2,+∞)上是增函數(shù),
∴f ′(x)≥0在[2,+∞)上恒成立,即a≥在[2,+∞)上恒成立,
∴a≥()max
∵x≥2,∴0<≤1,∴a≥1.
故實數(shù)a的取值范圍為[1,+∞).                  4分
(Ⅱ)當a=2時,由(Ⅰ)知,f(x)在[2,+∞)上是增函數(shù),
∴當x>2時,f(x)>f(2),即-1++2ln(x-1)>0,
∴2ln(x-1)>1-
令g(x)=2x-4-2ln(x-1),則g′(x)=2-
∵x>2,∴g′(x)>0,
∴g(x)在(2,+∞)上是增函數(shù),
∴g(x)>g(2)=0,即2x-4-2ln(x-1)>0,
∴2x-4>2ln(x-1).
綜上可得,1-<2ln(x-1)<2x-4(x>2).            9分
(Ⅲ)由(Ⅱ),得1-<2ln(x-1)<2x-4(x>2),
令x-1=,則<2ln<2·,k=1,2, ,n-1.
將上述n-1個不等式依次相加,得
+ …+<2(ln+ln+…+ln)<2(1++…+),
+…+<2lnn<2(1++…+),
+…+<lnn<1++…+(n∈N*,且n≥2).      14分
考點:導數(shù),函數(shù)的單調(diào)性,數(shù)列求和.

練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

,其中.
(1)當時,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;
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(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
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已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在區(qū)間[0,2]上恒有,求的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=x-ax+(a-1),.
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(ⅰ)求證g(x)為單調(diào)遞增函數(shù);
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(本小題滿分13分)已知函數(shù)
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