Question

【題目】已知函數(shù) 存在兩個極值點．
（Ⅰ）求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設x1和x2分別是f（x）的兩個極值點且x1＜x2 ， 證明： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題設函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x）=lnx﹣ax，

故函數(shù)f（x）有兩個極值點等價于其導函數(shù)f'（x）在（0，+∞）有兩個零點．

當a=0時f'（x）=lnx，顯然只有1個零點x0=1．

當a≠0時，令h（x）=lnx﹣ax，那么 ．

若a＜0，則當x＞0時h'（x）＞0，即h（x）單調(diào)遞增，所以h（x）無兩個零點．

若a＞0，則當 時h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；當 時h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，

所以 ．

又h（1）=﹣a＜0，當x→0時→﹣∞，故若有兩個零點，則 ，得 ．

綜上得，實數(shù)a的取值范圍是 ．

（Ⅱ）證明：要證 ，兩邊同時取自然對數(shù)得 ．

由f'（x）=0得 ，得 ．

所以原命題等價于證明 ．

因為x1＜x2，故只需證 ，即 ．

令 ，則0＜t＜1，設 ，只需證g（t）＜0．

而 ，故g（t）在（0，1）單調(diào)遞增，所以g（t）＜g（1）=0．

綜上得 ．

【解析】（Ⅰ）函數(shù)f（x）有兩個極值點等價于其導函數(shù)f'（x）在（0，+∞）有兩個零點，分類討論求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）要證 ，兩邊同時取自然對數(shù)得 ，由f'（x）=0得 ，得 ．所以原命題等價于證明 ．
【考點精析】掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．