某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本(即固定投入)為0.5萬元,但每生產(chǎn)一百件這樣的產(chǎn)品,需要增加可變成本(即另增加投入)0.25萬元.市場對此產(chǎn)品的年需求量為500件,銷售的收入函數(shù)為(單位:萬元),其中t(t∈N)是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位:百件)
(1)該公司這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x(x∈N)百件,生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得到的利潤為當年產(chǎn)量x(x∈N)的函數(shù)f(x),求f(x);
(2)當年產(chǎn)量是多少時,工廠所得利潤最大?
(3)當年產(chǎn)量是多少時,工廠才不虧本?
【答案】分析:(1)利潤函數(shù)=銷售收入函數(shù)-成本函數(shù),討論x的大小,由此能夠利用分段函數(shù)表示出年利潤y表示為年產(chǎn)量x(x>0)的函數(shù).
(2)由利潤函數(shù)是分段函數(shù),分段求出最大值,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)取最大值時對應的自變量x的值,比較兩段的最大值即可求出所求.
(3)令利潤函數(shù)不小于,能夠求出年產(chǎn)量是多少時,工廠才不虧本.
解答:解:(1)∵某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本(即固定投入)為0.5萬元,
每生產(chǎn)一百件這樣的產(chǎn)品,需要增加可變成本0.25萬元,
公司這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x(x∈N)百件,
銷售的收入函數(shù)為,
∴當0≤x≤5,x∈Z時,
f(x)=5x--0.5-0.25x=-0.5+4.75x-
當x>5,x∈Z時,
f(x)=25--0.5-0.25x=12-0.25x,
∴f(x)=
(2)當0≤x≤5時,y=-0.5+4.75x-
∵拋物線開口向下,對稱軸x=4.75,
∴當x=5時,y有最大值10.75;
當x>5時,∵y=12-0.25x是減函數(shù),
∴x=6時,y有最大值10.50.
綜上,當年產(chǎn)量為500件時,工廠所得利潤最大.
(3)當0≤x≤5時,由y=-0.5+4.75x-≥0,得0≤x≤5,x∈Z;
當x>5時,由y=12-0.25x≥0,得5<x≤48,x∈Z.
當年產(chǎn)量x滿足1≤x≤48,x∈Z時,工廠不虧本.
點評:本題考查了函數(shù)的生產(chǎn)生活中的實際應用,解題時要認真審題,仔細解答,注意二次函數(shù)和分段函數(shù)性質(zhì)的合理運用.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為2000元,已知生產(chǎn)x件這樣的產(chǎn)品需要再增加可變成本C(x)=300x+
1
24
x3
(元),如果生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能以每件500元售出,那么,為了獲得最大利潤,應生產(chǎn)該產(chǎn)品( 。
A、5件B、40件
C、50件D、64件

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本(即固定投入)為0.5萬元,但每生產(chǎn)一百件這樣的產(chǎn)品,需要增加可變成本(即另增加投入)0.25萬元.市場對此產(chǎn)品的年需求量為500件,銷售的收入函數(shù)為R(t)=5t-
t22
(0≤t≤5,t∈N)
(單位:萬元),其中t(t∈N)是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位:百件)
(1)該公司這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x(x∈N)百件,生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得到的利潤為當年產(chǎn)量x(x∈N)的函數(shù)f(x),求f(x);
(2)當年產(chǎn)量是多少時,工廠所得利潤最大?
(3)當年產(chǎn)量是多少時,工廠才不虧本?

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t2
2
(0≤t≤5,t∈N)
(單位:萬元),其中t(t∈N)是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位:百件)
(1)該公司這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x(x∈N)百件,生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得到的利潤為當年產(chǎn)量x(x∈N)的函數(shù)f(x),求f(x);
(2)當年產(chǎn)量是多少時,工廠所得利潤最大?
(3)當年產(chǎn)量是多少時,工廠才不虧本?

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科目:高中數(shù)學 來源:2008-2009學年北京市西城區(qū)高二(上)期末數(shù)學試卷(文科)(解析版) 題型:選擇題

某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為2000元,已知生產(chǎn)x件這樣的產(chǎn)品需要再增加可變成本(元),如果生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能以每件500元售出,那么,為了獲得最大利潤,應生產(chǎn)該產(chǎn)品( )
A.5件
B.40件
C.50件
D.64件

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