Question

【題目】設正數(shù)x，y滿足log x+log3y=m（m∈[﹣1，1]），若不等式3ax2﹣18xy+（2a+3）y2≥（x﹣y）2有解，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.（1， ]
B.（1， ]
C.[ ，+∞）
D.[ ，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵log x+log3y=m，即log3 +log3y=log3 =m， ∴ =3m ， ∵m∈[﹣1，1]，∴ ∈[ ，3]．
∵3ax2﹣18xy+（2a+3）y2≥（x﹣y）2 ，
∴3a﹣18 +（2a+3） ≥1﹣2 + ，
令 =t，則2（a+1）t2﹣16t+3a﹣1≥0，
設f（t）=2（a+1）t2﹣16t+3a﹣1，
∵不等式3ax2﹣18xy+（2a+3）y2≥（x﹣y）2有解，
∴f（t）在[ ，3]上的最大值fmax（x）≥0，
（i）當a=﹣1時，f（t）=﹣16t﹣4，
∴fmax（t）=f（ ）=﹣ ﹣4＜0，不符合題意；
（ii）若a＜﹣1，則f（t）開口向下，對稱軸為t= ＜0，
∴f（t）在[ ，3]上單調(diào)遞減，
∴fmax（t）=f（ ）= ﹣6＜0，不符合題意；
（iii）若a＞﹣1，則f（t）開口向上，對稱軸為t= ＞0，
①若0＜ ≤ ，即a≥11時，f（t）在[ ，3]上單調(diào)遞增，
∴fmax（t）=f（3）=21a﹣31＞0，符合題意；
②若 ，即﹣1＜a 時，f（t）在[ ，3]上單調(diào)遞減，
∴fmax（t）=f（ ）= ﹣6≤ ﹣6＜0，不符合題意；
③若 ＜ ＜3，即 ＜a＜11時，f（t）在[ ，3]上先減后增，
∴fmax（t）=f（ ）或fmax（t）=f（3），
∴f（ ）= ﹣6≥0或f（3）=21a﹣31＞0，
解得a≥ 或a≥ ，又 ＜a＜11，
∴ ≤a＜11，
綜上，a的取值范圍是[ ，+∞）．
故選C．
根據(jù)對數(shù)運算性質(zhì)可得 =3m ， 令 =t，則不等式可化簡為2（a+1）t2﹣16t+3a﹣1≥0，令f（t）=2（a+1）t2﹣16t+3a﹣1，則問題轉(zhuǎn)化為fmax（t）≥0，討論對稱軸與開口方向，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出fmax（t）即可得出a的范圍．