【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，恒成立，求a的取值范圍．

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）.

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，然后分，，討論即可.

（2）要使恒成立，只需恒成立，然后分，，，討論即可.

解：（1）因?yàn)?/span>，

所以.

①當(dāng)，即時(shí)，

令，得或

令，得，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.

②當(dāng)，即時(shí)，恒成立，

所以在R上單調(diào)遞增.

③當(dāng)，即時(shí)，

令，得或

令，得，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.

綜上，當(dāng)時(shí)，

的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）由（1）可知.

①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

令，得或，

令，得，

則在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

故在上有極大值

.

當(dāng)時(shí)，，

令，得，

故符合題意.

②當(dāng)，即時(shí)，，

所以在上是增函數(shù)，

則有最大值，

故符合題意.

③當(dāng)，即時(shí)，

令，得或，

令，得，

則在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

故在上有極大值

，

當(dāng)時(shí)，，

令，得，

故符合題意.

④當(dāng)即時(shí)，

令，得，

令，得，

則在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

故在上有最大值.

，

故符合題意.

綜上，a的取值范圍是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

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【題目】新冠肺炎疫情這只“黑天鵝”的出現(xiàn)，給經(jīng)濟(jì)運(yùn)行帶來(lái)明顯影響，住宿餐飲、文體娛樂(lè)、交通運(yùn)輸、旅游等行業(yè)受疫情影響嚴(yán)重.隨著復(fù)工復(fù)產(chǎn)的有序推動(dòng)，我市某西餐廳推出線上促銷活動(dòng)：

A套餐（在下列食品中6選3）

西式面點(diǎn)：蔓越莓核桃包、南瓜芝土包、黑列巴、全麥吐司；

中式面點(diǎn)：豆包、桂花糕

B套餐：醬牛肉、老味燒雞熟食類組合.

復(fù)工復(fù)產(chǎn)后某一周兩種套餐的日銷售量（單位：份）如下：

星期一

星期二

星期三

星期四

星期五

星期六

星期日

A套餐

11

12

14

18

22

19

23

B套餐

6

13

15

15

37

20

41

（1）根據(jù)該西餐廳上面一周A、B兩種套餐的銷售情況，結(jié)合兩種套餐的平均銷售量和方差，評(píng)價(jià)兩種套餐的銷售情況（不需要計(jì)算，只給出結(jié)論即可）；

（2）如果該西餐廳每種套餐每日銷量少于20份表示業(yè)績(jī)“一般”，銷量大于等于20份表示業(yè)績(jī)“優(yōu)秀”，求該西餐廳在這一周內(nèi)B套餐連續(xù)兩天中至少有一天銷量業(yè)績(jī)?yōu)?/span>“優(yōu)秀”的概率；

（3）某顧客購(gòu)買一份A套餐，求她所選的面點(diǎn)中所含中式面點(diǎn)個(gè)數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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【題目】如圖，某森林公園內(nèi)有一條寬為100米的筆直的河道（假設(shè)河道足夠長(zhǎng)），現(xiàn)擬在河道內(nèi)圍出一塊直角三角形區(qū)域養(yǎng)殖觀賞魚(yú).三角形區(qū)域記為，到河兩岸距離，相等，，分別在兩岸上，.為方便游客觀賞，擬圍繞區(qū)域在水面搭建景觀橋.為了使橋的總長(zhǎng)度（即的周長(zhǎng)）最短，工程師設(shè)計(jì)了以下兩種方案：

方案1：設(shè)，求出關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出的最小值.

方案2：設(shè)米，求出關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出的最小值.

請(qǐng)從以上兩種方案中自選一種解答.（注：如果選用了兩種解答方案，則按第一種解答計(jì)分）

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耳繩情況

合格

缺失

錯(cuò)位

錯(cuò)熔

漏熔

甲生產(chǎn)線

950

9

19

11

11

乙生產(chǎn)線

900

19

35

25

21

（1）從乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的1000只口罩中隨機(jī)抽取3只，將合格品的只數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）假設(shè)口罩的生產(chǎn)成本為0.4元/只，若耳繩發(fā)生缺陷時(shí)可通過(guò)人工修復(fù)至合格來(lái)挽回?fù)p失。耳繩缺失、漏熔時(shí)人工修復(fù)費(fèi)為0.01元/只；錯(cuò)位與錯(cuò)熔時(shí)需更換耳繩，其中耳繩成本為0.06元/根，人工修復(fù)費(fèi)為0.02元/只．

①以修復(fù)費(fèi)的平均數(shù)作為判斷依據(jù)，判斷哪一條生產(chǎn)線在每日生產(chǎn)過(guò)程中挽回?fù)p失時(shí)所需費(fèi)用較少？

②若經(jīng)一次檢驗(yàn)就合格的口罩，生產(chǎn)商以1元/只的批發(fā)價(jià)銷售給市場(chǎng)，經(jīng)人工修復(fù)的打八折出售。以該工廠的日平均收入為依據(jù)分析該生產(chǎn)商是否有必要更換甲生產(chǎn)線？

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（1）求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知曲線C3的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)A是曲線C3與C1的交點(diǎn)，點(diǎn)B是曲線C3與C2的交點(diǎn)，A、B均異于原點(diǎn)O，且，求實(shí)數(shù)α的值．

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