Question

設{a_n}是公差大于零的等差數(shù)列，已知a₁=2，a₃=a₂²-10．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設{b_n}是以函數(shù)y=4sin²（πx+

1

2

）-1的最小正周期為首項，以3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n-b_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）若f（n）=

2

2n+a1

+

2

2n+a2

+…+

2

2n+an

（n∈N，且n≥2，求函數(shù)f（n）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設{a_n}的公差為d，由

a1=2 a1+2d=(a1+d)2-10

可解得公差d，從而可求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用降冪公式可求得y=4sin²（πx+

1

2

）-1=-2cos（2πx+1）+1，從而可求其最小正周期，繼而可得數(shù)列{b_n}的通項公式，利用分組求和法即可求得數(shù)列{a_n-b_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）依題意，可求得f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，從而可得f（n+1）=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

，作差可判斷函數(shù)y=f（n）的單調情況，從而可求函數(shù)f（n）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）設{a_n}的公差為d，則

a1=2 a1+2d=(a1+d)2-10

，
解得d=2或d=-4（舍），
∴a_n=2+（n-1）×2=2n．
（Ⅱ）∵y=4sin²（πx+

1

2

）-1=4×

1-cos(2πx+1)

2

-1=-2cos（2πx+1）+1，
其最小正周期為T=

2π

2π

=1，故數(shù)列{b_n}的首項是1，又公比為3，
∴b_n=3^n-1，
∴a_n-b_n=2n-3^n-1，
∴S_n=（2-3⁰）+（4-3¹）+…+（2n-3^n-1）
=

(2+2n)n

2

-

1-3n

1-3

=n²+n+

1

2

-

1

2

•3ⁿ．
（Ⅲ）∵f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
∴f（n+1）=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

，
∴f（n+1）-f（n）=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0，
∴f（n）單調遞增，故f（n）的最小值是f（2）=

7

12

．

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列的通項公式與分組求和，突出三角函數(shù)的周期性與函數(shù)單調性的考查，屬于難題．