【題目】已知平面平面ABC，P、P在平面ABC的同側(cè)，二面角的平面角為鈍角，Q到平面ABC的距離為，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，.

（1）求證：面平面PAB；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）由正弦定理，可求得，即，再由平面平面ABC，可得平面PAB，可證得面平面PAB；

（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，方向?yàn)?/span>x軸、y軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

求出平面ACQ, 平面PAC的法向量，即可求得二面角.

（1），

所以，

，

又平面平面ABC，平面，

平面ABC，平面PAB，面PAC，

面面PAB

（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，方向?yàn)?/span>x軸、y軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，

設(shè)平面ACQ的法向量為，則，

令，

設(shè)平面PAC的法向量為，則，

令：，

設(shè)二面角的平面角為，則.

而此二面角為銳角，故二面角的平面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在貫徹中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于精準(zhǔn)扶貧政策的過(guò)程中，某單位定點(diǎn)幫扶100戶貧困戶.工作組對(duì)這100戶村民的貧困狀況和家庭成員受教育情況進(jìn)行了調(diào)查：甲村55戶貧困村民中，家庭成員接受過(guò)中等及以上教育的只有10戶，乙村45戶貧困村民中，家庭成員接受過(guò)中等及以上教育的有20戶.

（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為貧困與接受教育情況有關(guān)；

家庭成員接受過(guò)中等以下

教育的戶數(shù)

家庭成員接受過(guò)中等及以上

教育的戶數(shù)

合計(jì)

甲村貧困戶數(shù)

乙村貧困戶數(shù)

合計(jì)

（2）在被幫扶的100戶貧困戶中，按分層抽樣的方法從家庭成員接受過(guò)中等及以上教育的貧困戶中抽取6戶，再?gòu)倪@6戶中采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取2戶，求這2戶中甲、乙兩村恰好各1戶的概率.

參考公式與數(shù)據(jù)：，其中.

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|﹣|x﹣2a|+a.

（1）求不等式f（x）＞4的解集；

（2）對(duì)x1∈R，x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范圍.

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【題目】2020年春節(jié)期間，新型冠狀病毒（2019﹣nCoV）疫情牽動(dòng)每一個(gè)中國(guó)人的心，危難時(shí)刻全國(guó)人民眾志成城．共克時(shí)艱，為疫區(qū)助力．我國(guó)S省Q市共100家商家及個(gè)人為緩解湖北省抗疫消毒物資壓力，募捐價(jià)值百萬(wàn)的物資對(duì)口輸送湖北省H市．

（1）現(xiàn)對(duì)100家商家抽取5家，其中2家來(lái)自A地，3家來(lái)自B地，從選中的這5家中，選出3家進(jìn)行調(diào)研．求選出3家中1家來(lái)自A地，2家來(lái)自B地的概率．

（2）該市一商家考慮增加先進(jìn)生產(chǎn)技術(shù)投入，該商家欲預(yù)測(cè)先進(jìn)生產(chǎn)技術(shù)投入為49千元的月產(chǎn)增量．現(xiàn)用以往的先進(jìn)技術(shù)投入xi（千元）與月產(chǎn)增量yi（千件）（i＝1，2，3，…，8）的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，由散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線的附近，且：，，，，，其中，，，根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量，求y關(guān)于x回歸方程，并預(yù)測(cè)先進(jìn)生產(chǎn)技術(shù)投入為49千元時(shí)的月產(chǎn)增量．

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u1，v1）（u2，v2），其回歸直線v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為

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【題目】已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．

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（1）求橢圓C的方程；

（2）在直線上是否存在點(diǎn)P，滿足？存在，指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】某商場(chǎng)舉行元旦促銷回饋活動(dòng)，凡購(gòu)物滿1000元，即可參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的口袋中裝有編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)完全相同的小球，顧客每次從口袋中摸出一個(gè)小球，共摸三次（每次摸出的小球均不放回口袋），編號(hào)依次作為一個(gè)三位數(shù)的個(gè)位、十位、百位，若三位數(shù)是奇數(shù)，則獎(jiǎng)勵(lì)50元，若三位數(shù)是偶數(shù)，則獎(jiǎng)勵(lì)元（為三位數(shù)的百位上的數(shù)字，如三位數(shù)為234，則獎(jiǎng)勵(lì)元）.

（1）求抽獎(jiǎng)?wù)咴谝淮纬楠?jiǎng)中所得三位數(shù)是奇數(shù)的概率；

（2）求抽獎(jiǎng)?wù)咴谝淮纬楠?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額的概率分布與期望.

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【題目】已知函數(shù)．（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）記，若，試討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：）

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【題目】某購(gòu)物網(wǎng)站開(kāi)展一種商品的預(yù)約購(gòu)買(mǎi)，規(guī)定每個(gè)手機(jī)號(hào)只能預(yù)約一次，預(yù)約后通過(guò)搖號(hào)的方式?jīng)Q定能否成功購(gòu)買(mǎi)到該商品.規(guī)則如下：（ⅰ）搖號(hào)的初始中簽率為；（ⅱ）當(dāng)中簽率不超過(guò)時(shí)，可借助“好友助力”活動(dòng)增加中簽率，每邀請(qǐng)到一位好友參與“好友助力”活動(dòng)可使中簽率增加.為了使中簽率超過(guò)，則至少需要邀請(qǐng)________位好友參與到“好友助力”活動(dòng).

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