【題目】設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓 的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,過點(diǎn)O且斜率為 的直線與直線AB相交M,且 .
(Ⅰ)求證:a=2b;
(Ⅱ)PQ是圓C:(x﹣2)2+(y﹣1)2=5的一條直徑,若橢圓E經(jīng)過P,Q兩點(diǎn),求橢圓E的方程.
【答案】解:(Ⅰ)證明:∵A(a,0),B(0,b), ,
即為(a﹣xM,0﹣yM)= (xM﹣0,yM﹣b),
即有a﹣xM= xM,﹣yM= (yM﹣b),
所以 ,
∴ ,解得a=2b;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a=2b,∴橢圓E的方程為 ,即x2+4y2=4b2(1)
依題意,圓心C(2,1)是線段PQ的中點(diǎn),且 .
由對稱性可知,PQ與x軸不垂直,設(shè)其直線方程為y=k(x﹣2)+1,
代入(1)得:
(1+4k2)x2﹣8k(2k﹣1)x+4(2k﹣1)2﹣4b2=0
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
則 , ,
由 得 ,解得 .
從而x1x2=8﹣2b2.
于是
解得b2=4,a2=16,∴橢圓E的方程為
【解析】(Ⅰ)運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,可得M的坐標(biāo),進(jìn)而得到直線OM的斜率,進(jìn)而得證;(Ⅱ)由(Ⅰ)知a=2b,橢圓方程設(shè)為x2+4y2=4b2(1),設(shè)PQ的方程,代入方程(1),運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,以及弦長公式,解方程即可得到a,b的值,進(jìn)而得到橢圓方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥,B藥)的療效,隨機(jī)地選取20位患者服用A藥,20位患者服用B藥,這40位患者在服用一段時(shí)間后,記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間(單位:h).試驗(yàn)的觀測結(jié)果如下:
服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間:
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間:
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù),從計(jì)算結(jié)果看,哪種藥的療效更好?
(2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)繪制莖葉圖,從莖葉圖看,哪種藥的療效更好?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩家商場對同一種商品開展促銷活動(dòng),對購買該商品的顧客兩家商場的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下:
甲商場:顧客轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的圓盤,當(dāng)指針指向陰影部分(圖中兩個(gè)陰影部分均為扇形,且每個(gè)扇形的圓心角均為,邊界忽略不計(jì))即為中獎(jiǎng).
乙商場:從裝有2個(gè)白球、2個(gè)藍(lán)球和2個(gè)紅球(這些球除顏色外完全相同)的盒子中一次性摸出2球,若摸到的是2個(gè)相同顏色的球,則為中獎(jiǎng).
試問:購買該商品的顧客在哪家商場中獎(jiǎng)的可能性大?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),解方程;
(2)當(dāng)時(shí),若不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若a為常數(shù),且函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校100名學(xué)生的數(shù)學(xué)測試成績的頻率分布直方圖如圖所示,分?jǐn)?shù)不低于a即為優(yōu)秀,如果優(yōu)秀的人數(shù)為20,則a的估計(jì)值是( )
A. 130 B. 140 C. 133 D. 137
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有關(guān)部門從甲、乙兩個(gè)城市所有的自動(dòng)售貨機(jī)中隨機(jī)抽取了16臺(tái),記錄下上午8:00~11:00之間各自的銷售情況(單位:元):
甲:18,8,10,43,5,30,10,22,6,27,25,58,14,18,30,41;
乙:22,31,32,42,20,27,48,23,38,43,12,34,18,10,34,23.
試用兩種不同的方式分別表示上面的數(shù)據(jù),并簡要說明各自的優(yōu)點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足對任意,存在常數(shù),都有成立,則稱
是上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的上界,已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的值域,判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù),并說明理由.
(2)若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y=2x2和直線l:y=kx+1,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求證:l與C必有兩交點(diǎn);
(2)設(shè)l與C交于A(x1 , y1)、B(x2 , y2)兩點(diǎn),且直線OA和OB的斜率之和為1,求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求直方圖中x的值;
(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);
(3)在月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取11戶居民,則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶?
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