Question

【題目】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx-表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（1）當(dāng)k=2時(shí)，求炮的射程；
（2）求炮的最大射程；
（3）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為3.2千米，試問(wèn)它的橫坐標(biāo)a不超過(guò)多少時(shí)，炮彈可以其中它？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵k=2，y=kx-，可得：y=2x-，y=0，可得x=0，x=8．
炮的射程為：8千米．
（2）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得 kx﹣（1+k2）x2=0．
由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x＞0，k＞0．
∴x==≤=10，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)．
∴炮的最大射程是10千米．
（3）∵a＞0，∴炮彈可以擊中目標(biāo)等價(jià)于存在 k＞0，使ka﹣（1+k2）a2≥3.2成立，
即關(guān)于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．
由韋達(dá)定理滿(mǎn)足兩根之和大于0，兩根之積大于0，
故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0，得a≤6．
此時(shí)，k=＞0．
∴當(dāng)a不超過(guò)6時(shí)，炮彈可以擊中目標(biāo)．
【解析】（1）通過(guò)k=2，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)求解射程．
（2）求炮彈擊中目標(biāo)時(shí)的橫坐標(biāo)的最大值，用一元二次方程根的判別式求解即可．
（3）炮彈可以擊中目標(biāo)等價(jià)于存在 k＞0，使ka﹣（1+k2）a2≥3.2成立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．利用判別式，求解即可．