【題目】在正方形中,邊長,的中點為,現(xiàn)將沿對角線翻折(如圖),則在翻折的過程中.下列說法正確的是______.(填正確命題的序號)
①直線與直線所成的角為(,不重合時);
②三棱錐體積的最大值為;
③三棱錐外接球的表面積為;
④點運動形成的軌跡為橢圓的一部分.
【答案】①③
【解析】
對于①,取的中點,連接,,得到,,,由線面垂直的判定定理得到平面,從而得到,可判讀其正確;對于②,利用三棱錐等體積轉換,,得到當平面平面時,體積最大,利用椎體體積公式求得結果,可判讀②是錯誤的;對于③,根據(jù)幾何體特征,可得的中點為外接球的球心,確定出半徑,利用球的表面積公式求得結果,可判讀其正確;對于④,點的軌跡為圓的一部分,從而得到其是錯誤的,從而得到正確答案.
①取的中點,連接,,∴,,,∴平面,∴,①正確;
②,當平面平面時,三棱錐的體積最大,此時,,②不正確;
③由①的中點為外接球的球心,,,③正確;
④點的軌跡為圓的一部分,圓心為上靠近的4等分點,④不正確;
故答案是:①③.
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【題目】已知函數(shù)的圖像過點和.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若在上有解,求的最小值;
(3)記,,是否存在正數(shù),使得對一切均成立?若存在,求出的最大值;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,在地上有同樣大小的 5 塊積木,一堆 2 個,一堆 3 個,要把積木一塊一塊的全部放到某個盒子里,每次 只能取出其中一堆最上面的一塊,則不同的取法有______種(用數(shù)字作答).
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【題目】已知函數(shù)(,)的圖象與軸交點的橫坐標構成一個公差為的等差數(shù)列,把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位,縱坐標擴大到原來的2倍得到函數(shù)的圖象,則下列關于函數(shù)的命題中正確的是( )
A.函數(shù)是奇函數(shù)B.的圖象關于直線對稱
C.在上是增函數(shù)D.當時,函數(shù)的值域是
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【題目】在如圖所示的組合體中,三棱柱的側面是圓柱的軸截面,是圓柱底面圓周上不與重合的一個點.
(1)若圓柱的軸截面是正方形,當點是弧的中點時,求異面直線與的所成角的大。
(2)當點是弧的中點時,求四棱錐與圓柱的體積比.
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【題目】為了檢測某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,從生產(chǎn)線上隨機抽取一批零件,根據(jù)其尺寸的數(shù)據(jù)分成,,,,,,組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.若尺寸落在區(qū)間之外,則認為該零件屬“不合格”的零件,其中,分別為樣本平均和樣本標準差,計算可得(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).
(1)若一個零件的尺寸是,試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件;
(2)工廠利用分層抽樣的方法從樣本的前組中抽出個零件,標上記號,并從這個零件中再抽取個,求再次抽取的個零件中恰有個尺寸小于的概率.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知橢圓:的焦距為2,且過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設橢圓的上頂點為,右焦點為,直線與橢圓交于,兩點,問是否存在直線,使得為的垂心,若存在,求出直線的方程:若不存在,說明理由.
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