Question

若方程|-x²+4x-3|=kx有三個(gè)實(shí)數(shù)解，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：方程|-x²+4x-3|=kx有三個(gè)實(shí)數(shù)解，即為函數(shù)y=|-x²+4x-3|和y=kx的圖象有三個(gè)交點(diǎn)．在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=|-x²+4x-3|和y=kx的圖象，通過直線的旋轉(zhuǎn)，觀察當(dāng)直線和曲線相切時(shí)成立，設(shè)出切點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，解方程即可得到k．

解答： 解：方程|-x²+4x-3|=kx有三個(gè)實(shí)數(shù)解，
即為函數(shù)y=|-x²+4x-3|和y=kx的圖象有三個(gè)交點(diǎn)．
在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=|-x²+4x-3|和y=kx的圖象，
通過圖象觀察可得，當(dāng)直線y=kx繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至與曲線
在1＜x＜3的圖象相切時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)．
設(shè)切點(diǎn)為（m，n），則y=-x²+4x-3的導(dǎo)數(shù)為y′=-2x+4，
則有k=-2m+4，n=km，n=-m²+4m-3，
解得，m=

3

∈（1，3），-

3

舍去，
即有k=4-2

3

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．