Question

已知m，n，x，y均為正實數(shù)，且m≠n，則有

m2

x

+

n2

y

≥

(m+n)2

x+y

，且當

m

x

=

n

y

時等號成立，利用此結(jié)論，可求函數(shù)f（x）=

4

3x

+

3

1-x

，x∈（0，1）的最小值為

 

．

Answer 1

考點：不等式的基本性質(zhì)

專題：不等式

分析：f（x）轉(zhuǎn)化為f（x）═

22

3x

+

32

3-3x

，利用所告訴的結(jié)論，得出f（x）≥

25

3

，問題得以解決

解答： 解：∵m，n，x，y均為正實數(shù)，且m≠n，則有

m2

x

+

n2

y

≥

(m+n)2

x+y

，且當

m

x

=

n

y

時等號成立，
∴f（x）=

4

3x

+

3

1-x

=

4

3x

+

32

3-3x

=

22

3x

+

32

3-3x

≥

(2+3)2

3x+3-3x

=

25

3

，當且僅當

2

3x

=

3

3-3x

時等號成立，即當x=

2

5

∈（0，1）時取等號，
∴函數(shù)f（x）的最小值為：

25

3

故答案為：

25

3

點評：本題考查了新知識的應用，轉(zhuǎn)化為同形式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題