【題目】已知函數(shù)f(x)=ex(x2+ax+a).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:當a≥4時,函數(shù)f(x)存在最小值.

【答案】
(1)解: f′(x)=ex(x+2)(x+a),

由f′(x)=0,解得:x=﹣2或x=﹣a,

①﹣a=﹣2即a=2時,f′(x)=ex(x+2)2≥0恒成立,

∴函數(shù)f(x)在R遞增;

②﹣a>﹣2即a<2時,x,f′(x),f(x)的變化如下:

x

(﹣∞,﹣2)

﹣2

(﹣2,﹣a)

﹣a

(﹣a,+∞)

f′(x)

+

0

0

+

f(x)

遞增

遞減

遞增

③﹣a<﹣2即a>2時,x,f′(x),f(x)的變化如下:

x

(﹣∞,﹣a)

﹣a

(﹣a,﹣2)

﹣2

(﹣2,+∞)

f′(x)

+

0

0

+

f(x)

遞增

遞減

遞增

綜上,a=2時,函數(shù)f(x)在R遞增,a<2時,f(x)在(﹣∞,﹣2),(﹣a,+∞)遞增,在(﹣2,﹣a)遞減,

a>2時,f(x)在(﹣∞,﹣a),(﹣2,+∞)遞增,在(﹣a,﹣2)遞減;


(2)解:法一:由(1)得:a≥4時,函數(shù)f(x)在x∈[﹣a,+∞)上f(x)≥f(﹣2),

且f(﹣2)=e2(4﹣a)≤0,

∵a≥4,

∴x∈(﹣∞,﹣a)時,x(x+a)≥0,ex>0,

x∈(﹣∞,﹣a)時,f(x)=ex[x(x+a)+a]>0,

∴a≥4時,函數(shù)f(x)存在最小值f(﹣2);

法二:由(Ⅰ)得:a≥4時,函數(shù)f(x)在x∈[﹣a,+∞)上f(x)≥f(﹣2),

且f(﹣2)=e2(4﹣a)≤0,

x→﹣∞時,x2+ax+a→+∞,∴f(x)>0,

由(Ⅰ)可知,函數(shù)f(x)在(﹣∞,﹣a)遞增,

∴x∈(﹣∞,﹣a)時,f(x)>0,

∴a≥4時,函數(shù)f(x)的最小值是f(﹣2)


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)結(jié)合(1)得到函數(shù)f(x)在x∈[﹣a,+∞)上f(x)≥f(﹣2),而x∈(﹣∞,﹣a)時,f(x)=ex[x(x+a)+a]>0,從而求出f(x)的最小值是f(﹣2);法二:根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f(x)的最小值是f(﹣2)即可.
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
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