Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，在橢圓上(異于橢圓的左、右頂點(diǎn))，過右焦點(diǎn)作∠的外角平分線的垂線，交于點(diǎn)，且(為坐標(biāo)原點(diǎn))，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的平行四邊形的面積為．

(1)求橢圓的方程；

(2)若直線：()與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線交軸于，求當(dāng)三角形的面積最大時(shí)，直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）由題意可得，延長F2Q交直線F1P于點(diǎn)R，由垂直平分線性質(zhì)，以及橢圓的定義、三角形的中位線定理可，，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）聯(lián)立直線l和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線方程，令y=0，化簡可得定值，再由，結(jié)合韋達(dá)定理和換元法、基本不等式可得最大值和直線l的方程．

(1)由橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的平行四邊形的面積為，得．

延長交直線于點(diǎn)，因?yàn)?/span>為∠的外角平分線的垂線，所以，為的中點(diǎn)，

所以，

所以，，

所以橢圓的方程為．

(2)將直線和橢圓的方程聯(lián)立得，消去，

得，

所以，即．

設(shè)，，則，由根與系數(shù)的關(guān)系，

得，，

直線的斜率，

所以直線的方程為，

令得，

故，所以點(diǎn)到直線的距離，

所以．

令()，則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，時(shí)，三角形的面積最大，

所以直線的方程為或．