矩形ABCD的四個頂點的坐標(biāo)分別為A(-2,1),B(2,1),C(2,-1),D(-2,-1),過原點且互相垂直的兩條直線分別與矩形的邊相交于E、F、G、H四點,則四邊形EGFH的面積的最小值為______,最大值為______.
設(shè)過原點且互相垂直的兩條直線分別為 y=kx,和 y=-
1
k
x,(不妨設(shè)k>0)由題意得,
則 E (
1
k
,1),F(xiàn) (-
1
k
,-1),G(-k,1),H(k,-1),
由兩點間的距離公式得 EF=
(
2
k
)
2
+22
=2
1+
1
k2
,GH=
(2K)2+4
=2
1+k2

四邊形EGFH的面積為 S=
1
2
•EF•GH=2
2+k2+
1
k2
=2
(k+
1
k
)
2
=2|k+
1
k
|=2(k+
1
k
).
根據(jù)E、G 兩點都在線段AB上,可得-2≤
1
k
≤2,且-2≤-k≤2,∴
1
2
≤k≤2.
又函數(shù) S=2(k+
1
k
) 在[
1
2
,1]上是減函數(shù),在[1,2]上是增函數(shù),故 k=1時,S有最小值為4.
當(dāng) k=
1
2
時,S=5; 當(dāng) k=2時,S=5. 當(dāng) k=0時,S=4.
綜上,S的最小值等于4,最大值等于 5,
故答案為 4,5.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)P的軌跡是曲線C,滿足:點P到F(-2,0)的距離與它到直線l:x=-4的距離之比是常數(shù),又點M(2,-
2
)
在曲線C上,點N(-1,1)在曲線C的內(nèi)部.
(1)求曲線C的方程;
(2)|PN|+
2
|PF|
的最小值,并求此時點P的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

與y軸相切且和半圓x2+y2=4(0≤x≤2)內(nèi)切的動圓圓心的軌跡方程是(  )
A.y2=4(x+1)(0<x≤1)B.y2=4(x-1)(0<x≤1)
C.y2=-4(x-1)(0<x≤1)D.y2=-2(x-1)(0<x≤1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知l1和l2是平面內(nèi)互相垂直的兩條直線,它們的交點為A,異于點A的兩動點B、C分別在l1、l2上,且BC=3,則過A、B、C三點的動圓所形成的圖形面積為( 。
A.6πB.9πC.
2
D.
9
4
π

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,AB為半圓的直徑,P為半圓上一點,|AB|=10,∠PAB=a,且sina=
4
5
,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.
(1)求A、B為焦點且過P點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)動圓M過點A,且與以B為圓心,以2
5
為半徑的圓相外切,求動圓圓心M的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)A為圓(x-1)2+y2=1上的動點,PA是圓的切線且|PA|=1,則P點的軌跡方程(  )
A.(x-1)2+y2=4B.(x-1)2+y2=2C.y2=2xD.y2=-2x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知P是曲線y=2x2-1上的動點,定點A(0,-1),且點P不同于點A,若M點滿足
PM
=2
MA
,求點M的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓+y2=1的左、右焦點,P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點,且PF1⊥PF2,則點P的橫坐標(biāo)為(  )
A.1B.C.2D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C的兩焦點分別為,長軸長為6,
⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵已知過點(0,2)且斜率為1的直線交橢圓C于A 、B兩點,求線段AB的長度。.

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同步練習(xí)冊答案