【題目】（本小題滿分12分）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中, 已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是橢圓的左、右頂點(diǎn),為線段的中點(diǎn), 且.

（1）求橢圓的方程；

（2）若為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)(異于點(diǎn)),連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn),連接、并分別延

長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)連接,設(shè)直線、的斜率存在且分別為、,試問(wèn)是否存在常數(shù),使

得恒成立？若存在,求出的值；若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】(1)；(2)存在，．

【解析】

試題分析：(1)借助題設(shè)條件運(yùn)用向量的相等建立方程組求解；(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系聯(lián)立坐標(biāo)方程求解.

試題解析：

（1）,化簡(jiǎn)得,點(diǎn)為線段的中點(diǎn),, 從而,左焦點(diǎn),故橢圓的方程為.

（2）存在滿足條件的常數(shù).設(shè),

則直線的方程為,代入橢圓方程整理得,.

,從而,故點(diǎn).同理,點(diǎn).因?yàn)槿c(diǎn)、、共線，所以,從而.

從而,

故,從而存在滿足條件的常數(shù).

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)若函數(shù)的圖象與軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，且圖像的一條對(duì)稱軸是直線。

（1）求的值；

（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（3）畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖像。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4—1：幾何證明選講

如圖，四邊形內(nèi)接于⊙，過(guò)點(diǎn)作⊙的切線交的延長(zhǎng)線于，已知.

證明：

（1）；

（2）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某商場(chǎng)為吸引顧客消費(fèi)推出一項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)則如下：消費(fèi)額每滿100元可轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤一次，并獲得相應(yīng)金額的返券，假定指針等可能地停在任一位置． 若指針停在A區(qū)域返券60元；停在B區(qū)域返券30元；停在C區(qū)域不返券． 例如：消費(fèi)218元，可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和．

（1）若某位顧客消費(fèi)128元，求返券金額不低于30元的概率；

（2）若某位顧客恰好消費(fèi)280元，并按規(guī)則參與了活動(dòng)，他獲得返券的金額記為（元）．求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知.

（1）判斷在上的單調(diào)性；

（2）判斷函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率為，以其四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積等于.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)原點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓的右頂點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)，問(wèn)：以為直徑的圓是否恒過(guò)軸上的定點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若函數(shù)y=2x3+1與y=3x2﹣b的圖象在一個(gè)公共點(diǎn)P（x0 ， y0）（x0＞0）處的切線相同，則實(shí)數(shù)b= ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)a，b∈R，則“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（ ）
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件

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