Question

【題目】對(duì)于任意的，若數(shù)列同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”.①；②存在實(shí)數(shù)使得.

（1）數(shù)列中，，判斷是否具有“性質(zhì)”.

（2）若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，證明：數(shù)列具有“性質(zhì)”，并指出的取值范圍.

（3）若數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)于任意的，數(shù)列具有“性質(zhì)”，且對(duì)滿足條件的的最小值，求整數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）不具有，具有；（2），；（3）或3

【解析】

（1）由于，不滿足條件①，因此不具有“性質(zhì)”；證明，又，即可判斷出；

（2）等比數(shù)列的公比為且，由，，可得，解得，，可得，進(jìn)而驗(yàn)證即可證明．

（3）對(duì)于任意的，數(shù)列具有“性質(zhì)”，利用，化為：，可得；另一方面：，可得，即可得出．

（1）解：，不滿足條件①，因此不具有“性質(zhì)”；

，

因此滿足條件①，又，

因此存在，使得，綜上可得是否具有“性質(zhì)”．

（2）證明：等比數(shù)列的公比為且，

，，，解得，．

．

，數(shù)列滿足條件①．

又，存在，使得，數(shù)列滿足條件②．綜上可得：數(shù)列具有“性質(zhì)”， 的取值范圍是．

（3）對(duì)于任意的，數(shù)列具有“性質(zhì)”，

，化為：，．

另一方面：，

，

令，則，

當(dāng)時(shí)，恒成立，

在單調(diào)遞減，且，

在恒成立，又，

對(duì)恒成立，恒成立，

，

，

整數(shù)或3．