如下圖，在三棱錐中，底面，點為以為直徑的圓上任意一動點，且，點是的中點，且交于點.

（1）求證：面；

（2）當時，求二面角的余弦值.

 

 

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由已知條件平面得到，再由已知條件得到，從而得到平面，進而得到，利用等腰三角形三線合一得到，結合直線與平面垂直的判定定理得到平面，于是得到，結合題中已知條件以及直線與平面垂直的判定定理得到平面；（2）以為坐標原點，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求二面角 的余弦值.

（1）證明：底面，，又易知，

平面，，

又，是的中點，，

平面，，

又已知，

平面；

（2）如下圖以為坐標原點，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，由于，

 

可設，則，，，，，

，，

設平面的一個法向量，

則，即，

可得，

由（1）可知為面的法向量，

易求

，

二面角的余弦值是.

考點：1.直線與平面垂直；2.空間向量法求二面角

 

練習冊系列答案
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