【題目】2018年2月22日上午,山東省省委、省政府在濟南召開山東省全面展開新舊動能轉(zhuǎn)換重大工程動員大會,會議動員各方力量,迅速全面展開新舊動能轉(zhuǎn)換重大工程.某企業(yè)響應號召,對現(xiàn)有設備進行改造,為了分析設備改造前后的效果,現(xiàn)從設備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了200件產(chǎn)品作為樣本,檢測一項質(zhì)量指標值,若該項質(zhì)量指標值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品,否則為不合格品.圖3是設備改造前的樣本的頻率分布直方圖,表1是設備改造后的樣本的頻數(shù)分布表.
表1:設備改造后樣本的頻數(shù)分布表
(1)完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值與設備改造有關;
(2)根據(jù)圖3和表1提供的數(shù)據(jù),試從產(chǎn)品合格率的角度對改造前后設備的優(yōu)劣進行比較;
(3)企業(yè)將不合格品全部銷毀后,根據(jù)客戶需求對合格品進行等級細分,質(zhì)量指標值落在內(nèi)的定為一等品,每件售價240元;質(zhì)量指標值落在或內(nèi)的定為二等品,每件售價180元;其它的合格品定為三等品,每件售價120元.根據(jù)表1的數(shù)據(jù),用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應等級產(chǎn)品的概率.現(xiàn)有一名顧客隨機購買兩件產(chǎn)品,設其支付的費用為(單位:元),求的分布列和數(shù)學期望.
附:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
【答案】(1) 有99%的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值與設備改造有關(2)見解析
【解析】試題分析:(1)根據(jù)直觀圖以及表格中所給數(shù)據(jù),可完成列聯(lián)表;根據(jù)列聯(lián)表,利用公式可得,與臨界值比較可得結(jié)果;(2)根據(jù)圖和表可知,利用古典概型概率公式可得設備改造前產(chǎn)品為合格品的概率約為,設備改造后產(chǎn)品為合格品的概率約為,比較合格率的大小即可得結(jié)果;(3)隨機變量的取值為: , , , , ,根據(jù)獨立事件的概率公式計算出各隨機變量對應的概率,可得分布列,利用期望公式可得結(jié)果.
試題解析:(1)根據(jù)圖3和表1得到列聯(lián)表:
設備改造前 | 設備改造后 | 合計 | |
合格品 | 172 | 192 | 364 |
不合格品 | 28 | 8 | 36 |
合計 | 200 | 200 | 400 |
將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得:
.
∵,
∴有99%的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值與設備改造有關.
(2)根據(jù)圖和表可知,設備改造前產(chǎn)品為合格品的概率約為,設備改造后產(chǎn)品為合格品的概率約為;顯然設備改造后產(chǎn)品合格率更高,因此,設備改造后性能更優(yōu).
(3)由表1知:
一等品的頻率為,即從所有產(chǎn)品中隨機抽到一件一等品的概率為;
二等品的頻率為,即從所有產(chǎn)品中隨機抽到一件二等品的概率為;
三等品的頻率為,即從所有產(chǎn)品中隨機抽到一件三等品的概率為.
由已知得:隨機變量的取值為: , , , , .
,
,
,
,
.
∴隨機變量的分布列為:
240 | 300 | 360 | 420 | 480 | |
∴ .
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】用表示自然數(shù)n的所有因數(shù)中最大的那個奇數(shù),例如:9的因數(shù)有1,3,9,,10的因數(shù)有1,2,5,10,,那么______.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線(a>0,b>0)的左頂點與拋物線y2=2px(p>0)的焦點的距離為4,且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為(-2,-1),則雙曲線的焦距為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】阿基米德(公元前287年—公元前212年),偉大的古希臘哲學家、數(shù)學家和物理學家,他死后的墓碑上刻著一個“圓柱容球”的立體幾何圖形,為紀念他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的,且球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結(jié)論.已知某圓柱的軸截面為正方形,其表面積為,則該圓柱的內(nèi)切球體積為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在處取得極值.
Ⅰ求實數(shù)a的值;
Ⅱ若關于x的方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)b的取值范圍;
Ⅲ證明:參考數(shù)據(jù):.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系x-O-y中,已知曲線E:(t為參數(shù))
(1)在極坐標系O-x中,若A、B、C為E上按逆時針排列的三個點,△ABC為正三角形,其中A點的極角θ=,求B、C兩點的極坐標;
(2)在直角坐標系x-O-y中,已知動點P,Q都在曲線E上,對應參數(shù)分別為t=α與t=2α (0<α<2π),M為PQ的中點,求 |MO| 的取值范圍
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)滿足:對于其定義域內(nèi)的任何一個自變量,都有函數(shù)值,則稱函數(shù)在上封閉.
(1)若下列函數(shù):,的定義域為,試判斷其中哪些在上封閉,并說明理由.
(2)若函數(shù)的定義域為,是否存在實數(shù),使得在其定義域上封閉?若存在,求出所有的值,并給出證明;若不存在,請說明理由.
(3)已知函數(shù)在其定義域上封閉,且單調(diào)遞增,若且,求證:.
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