Question

【題目】有一內(nèi)壁光滑的旋轉(zhuǎn)拋物面，方程，內(nèi)壁上有一質(zhì)量為的小球在一水平面內(nèi)做半徑為的無摩擦的圓周運(yùn)動，如圖甲所示.突然，小球受到一個沿子午線方向的一個沖量，使其得到沿子午線方向的速度分量，試證明：小球在此后的運(yùn)動中，將被限制在兩個水平面間運(yùn)動.

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

小球在曲面上運(yùn)動，是一種二維運(yùn)動，應(yīng)有兩個動力學(xué)方程給出描述，如果有守恒方程，則可以代替動力學(xué)方程.

本系統(tǒng)的守恒方程有兩個.

（i）因?yàn)樾∏蛟谶\(yùn)動過程中，受兩個力作用：重力和曲面支持力，前者平行于軸，后者通過軸，所以，對軸的力矩為零，另外，還受一個沿子午線方向的沖量，但相對于軸的沖量矩為零.

系統(tǒng)在受沖量前后，相對于軸的角動量守恒，其守恒量的大小為，式中待定.

（ii）在小球受到?jīng)_擊后，除了重力（保守力）外，非保守力（支持力）不做功，所以，系統(tǒng)在受沖擊后機(jī)械能守恒，守恒量的大小為

初始位置：，且，所以.

為了明確守恒量的大小，我們先計(jì)算的值.

改寫旋轉(zhuǎn)拋物面方程：.

令，

則.

最初，，小球受力如圖乙所示，由牛頓第二定律可得

，，

所以，.

這里正好是小球所在處曲線的斜率.由得

，，

所以，.

則兩個守恒量的大小分別為

，

.

設(shè)小球在以后運(yùn)動中的任一狀態(tài)的速度為

，

則，

.

利用①，②子午線方向的速度分量可得

.

當(dāng)時，正好是小球達(dá)到最低或最高位置，由此解出的值就是最低、最高的兩個平面，小球以后將在這兩個平面內(nèi)運(yùn)動.在上式中令，有

，

整理可得，

解得，.

以后小球就在這兩個平面之間運(yùn)動.

本題是考查角動量守恒與機(jī)械能守恒運(yùn)用的代表模型.

與本題類似的曲面還有錐面、球面以及其他曲線所給出的旋轉(zhuǎn)曲面等，其處理方式基本上與本題如出一轍，只是涉及的曲線不同而已.

質(zhì)點(diǎn)在這類曲面中的運(yùn)動一般有兩種可供研究的運(yùn)動模型，一是質(zhì)點(diǎn)在某一高度處做穩(wěn)定的勻速圓周運(yùn)動，如本題中的初態(tài)；二是質(zhì)點(diǎn)在某個高度區(qū)間內(nèi)做運(yùn)動，其過程遵循角動量與機(jī)械能守恒，我們即使是從定性的角度也能判斷質(zhì)點(diǎn)在最高處與最低處時，其豎直方向上的速度為零.