Question

【題目】有一塊透明的光學(xué)材料，由折射率略有不同的許多相互平行，厚度為的薄層密接構(gòu)成，下圖所示為與各薄層垂直的一個(gè)截面，AB為此材料的端面，與薄層界面垂直。表示截面的中心線。各薄層的折射率數(shù)值為，其中，。今有一光線PO以入射角射向Ο點(diǎn)，求此光線在材料內(nèi)能夠到達(dá)的離最遠(yuǎn)的距離。

Answer 1

【答案】

【解析】

令光線進(jìn)入材料后的折射角為（見(jiàn)圖乙），則有

。①

此光線射至薄層1時(shí)，入射角為，設(shè)光線進(jìn)入薄層1后與的夾角為，則有

,

依次逐層考慮，可得

常量。②

式中為薄層k中光線與中心線的夾角。已知，，，即隨序號(hào)k的增大而減小，故隨k的增大而增大，隨k的增大而減小。滿足②式的各值中最接近于1的那個(gè)值所對(duì)應(yīng)的k即光線能進(jìn)入最遠(yuǎn)的薄層的序號(hào)。在這薄層的上表面將發(fā)生全反射，光線返回，經(jīng)逐層折射進(jìn)入材料的下半部，到達(dá)第k層后又被反射回去，來(lái)回傳播，因此，需要求出能滿足

③

的k的最大值。

由①式得，

代入③式，化簡(jiǎn)得，

代入數(shù)值得。

取小于36.52的最大整數(shù)，得。

k層上表面即光線能到達(dá)的離最遠(yuǎn)處，它與的距離為

。

在特殊情況下，即恰等于某整數(shù)時(shí)，光線由層進(jìn)入層時(shí)光線即與平行，故層的上表面即為光線能達(dá)到之最遠(yuǎn)處。這時(shí)有

。