Question

【題目】4只蝸牛在一個(gè)非常大的平臺(tái)上各自做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)路徑的方向是隨機(jī)的（但是沒有平行的，也就是說任何兩只蝸牛都有可能相遇），但是沒有任何兩只以上的蝸牛的路徑會(huì)相交于一點(diǎn)。如果4只蝸�？赡芟嘤龅�次中的5次已經(jīng)發(fā)生，我們是否可以預(yù)言第六次相遇能否發(fā)生？

Answer 1

【答案】不能

【解析】

方法1我們首先來考慮三只蝸牛彼此相遇的情況。

將蝸牛編號(hào)為1、2、3,它們在平面上的軌跡分別為、、，其運(yùn)動(dòng)方向如圖甲中箭頭所示。

若三只蝸牛能相遇,則它們只能相遇于A、B、C三點(diǎn)，設(shè)1號(hào)與2號(hào)相遇于A點(diǎn)時(shí),3號(hào)此時(shí)還在D點(diǎn),設(shè)A、D的連線為L,3號(hào)與1號(hào)和2號(hào)分別相遇于B點(diǎn)與C點(diǎn),由于三只蝸牛都是做勻速運(yùn)動(dòng)的,那么2號(hào)運(yùn)動(dòng)AC這段距離的時(shí)間與3號(hào)運(yùn)動(dòng)DC這段距離的時(shí)間相等,由此可以作如下推斷,當(dāng)1號(hào)與3號(hào)相遇于B點(diǎn)時(shí),2號(hào)在點(diǎn),由時(shí)間關(guān)系及勻速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律易推得：，可得；；同樣可推得：2號(hào)與3號(hào)相遇于C點(diǎn)時(shí),1號(hào)的位置與C點(diǎn)的連線應(yīng)與直線AD平行.依此類推可得出:

三只蝸牛在運(yùn)動(dòng)過程中,它們?nèi)我鈺r(shí)刻所在位置的連線都是與圖甲中的直線L平行的,如圖中的虛線與、、的交點(diǎn)位置就是它們各個(gè)時(shí)刻的位置也就是說,如果三只蝸牛能彼此相遇,它們?nèi)我鈺r(shí)刻必定在同一直線上,如圖中的1、2、3點(diǎn)。

下面我們再回到4只蝸牛相遇的問題上。

將四只蝸牛編號(hào)為1、2、3、4,若它們的6次可能相遇中,只剩下3號(hào)與4號(hào)還沒有相遇,那么,由于1、2、3這三只蝸牛彼此相遇過,由前面的論述可知,這三只蝸牛必定在同一直線上;同理,由于2、3、4這三只蝸牛彼此相遇過,它們也必然在同一條直線上,由此可以確定,這四只蝸牛也必定在同一直線上,并且,這條直線在垂直于該直線方向上是勻速平移的。

如果我們以這四只蝸牛所在的直線做參照,那么,這四只蝸牛只能是在這條直線上運(yùn)動(dòng),這樣,我們就很容易確定,當(dāng)它們6次可能相遇中的5次已經(jīng)發(fā)生后,剩下的一次能否相遇則取決于我們開始記錄蝸牛相遇時(shí),蝸牛最初的位置,即問題的初態(tài).我們不妨設(shè)置圖乙所示的情況,1、23、4四只蝸牛在同一直線上向同一方向運(yùn)動(dòng),其速度大小分別為、、、，如果我們研究的最初位置如圖乙所示,或者說蝸牛從圖乙所示的位置開始運(yùn)動(dòng),我們不難發(fā)現(xiàn)最初的5次相遇是能夠發(fā)生的,但3號(hào)與4號(hào)蝸牛則沒有相遇的機(jī)會(huì);但如果在初態(tài)時(shí)將3號(hào)與4號(hào)的位置交換(這是可能的),那么,它們必定會(huì)相遇6次,也就是說,第6次相遇是可能發(fā)生的。

方法2：設(shè)四只蝸牛運(yùn)動(dòng)的平面為平面，在此基礎(chǔ)上引入時(shí)間軸t,建立三維坐標(biāo)，則蝸牛在任一時(shí)刻t在平面上的位置可以通過三維坐標(biāo)(時(shí)空坐標(biāo))進(jìn)行描述.如三維坐標(biāo)中的點(diǎn)所描述的就是在時(shí)刻t蝸牛在平面內(nèi)的位置，如圖所示。

由于每只蝸牛的運(yùn)動(dòng)均為勻速直線運(yùn)動(dòng),則蝸牛的位移與時(shí)間的關(guān)系是線性的,所以,每只蝸牛的運(yùn)動(dòng)軌跡在坐標(biāo)內(nèi)為一空間直線。

設(shè)四只蝸牛的軌跡分別為直線、、、，兩條直線的交點(diǎn)說明兩只蝸牛在同一時(shí)刻到達(dá)同一位置,即兩只蝸牛相遇.我們不妨設(shè)最后一次待證的相遇為、的交點(diǎn),則由、、兩兩相交可知，、、一定在同一平面內(nèi)(這一平面為一空間平面)，同理，由、、的兩兩相遇,也可確定、、也一定在同一平面內(nèi),因蝸牛的運(yùn)動(dòng)軌跡不能平行,即、不平行,即可確定、、、必定共面,加之、也不能平行,則、必定存在著一個(gè)交點(diǎn),即這兩只蝸牛在同一時(shí)刻到達(dá)平面上的同一點(diǎn),它們應(yīng)該“相遇”。

問題是我們應(yīng)該考慮實(shí)際情況,蝸牛的運(yùn)動(dòng)不可能是無邊界的,作為研究的起點(diǎn),其相遇點(diǎn)的時(shí)間坐標(biāo)應(yīng)該滿足。所以,若、交點(diǎn)的時(shí)間坐標(biāo)，則說明第6次相遇能夠發(fā)生;若、交點(diǎn)的時(shí)間坐標(biāo)，則說明在實(shí)際中,這兩只蝸牛是不能再相遇的,亦即第6次相遇不能發(fā)生。

本題看似條件不是十分充分,但只要能將相遇的條件理解透徹,其相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型還是十分清晰的.但第6次相遇能否發(fā)生取決于初始條件,這需要討論,而這一點(diǎn)往往會(huì)令答題者舉棋不定。

對(duì)于方法2用一個(gè)空間直線模型來處理相遇問題,思維獨(dú)到,也更能清晰地說明問題,其能力要求自然更高。