Question

【題目】各邊長(zhǎng)為a的正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)各有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，分別為、、、和，如圖所示。今使質(zhì)點(diǎn)始終對(duì)準(zhǔn)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，始終對(duì)準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)，始終對(duì)準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)，始終對(duì)準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)，始終對(duì)準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速率均為相同的u。試問：經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間t，五個(gè)質(zhì)點(diǎn)相聚？

Answer 1

【答案】

【解析】

方法1：各邊長(zhǎng)為a的正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)處各有一個(gè)質(zhì)點(diǎn),分別為、、、和,如圖所示。今使質(zhì)點(diǎn)始終對(duì)準(zhǔn)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng),始終對(duì)準(zhǔn)運(yùn)動(dòng),始終對(duì)準(zhǔn)運(yùn)動(dòng),始終對(duì)準(zhǔn)運(yùn)動(dòng),始終對(duì)準(zhǔn)運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)速率均為相同的u.試問:經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間t，五個(gè)質(zhì)點(diǎn)相聚？

方法2：本題的解法有很多,此處僅提供下面的解答。

由對(duì)稱性知,質(zhì)點(diǎn)的最終相遇點(diǎn)必在正五邊形的中心點(diǎn)O,如圖所示。

開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為。

由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特征易知,任何時(shí)候,質(zhì)點(diǎn)指向O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為。

所以,質(zhì)點(diǎn)相遇的總時(shí)間為。

與本題類似的追逐問題在各類競(jìng)賽資料中有很多,基本都是三體相互追逐的翻版,其處理方法也有很多種,核心是相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速度與對(duì)應(yīng)的路程的求解.如通過(guò)速度的分解求出兩相鄰的質(zhì)點(diǎn)間的接近速度,亦易得到相遇的時(shí)間;抑或通過(guò)微元過(guò)程來(lái)分析相互接近的速度等。

本題還有一個(gè)非常有意思的延伸問題:任一質(zhì)點(diǎn)在到達(dá)O點(diǎn)之前,繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)是多少?有興趣的同學(xué)不妨試著解答一下。