Question

如圖，在△ABO中，OA=OB，C是邊AB的中點，以O(shè)為圓心的圓過點C，且與OA交于點E，與OB交于點F，連接CE，CF．

（1）求證：AB與⊙O相切．
（2）若∠AOB=∠ECF，試判斷四邊形OECF的形狀，并說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：連接OC，

∵在△ABO中，OA=OB，C是邊AB的中點，
∴OC⊥AB。
∵OC為半徑，
∴AB與⊙O相切。
（2）四邊形OECF的形狀是菱形，理由如下：
如圖，取圓周角∠M，則∠M+∠ECF=180°。

由圓周角定理得：∠EOF=2∠M，
∵∠ECF=∠EOF，∴∠ECF=2∠M，
∴3∠M=180°，∠M=60°。
∴∠EOF=∠ECF=120°。
∵OA=OB，∴∠A=∠B=30°。
∴∠EOC=90°﹣30°=60°。
∵OE=OC，∴△OEC是等邊三角形�！郋C=OE。
同理OF=FC。
∴OE=EC=FC=OF。∴四邊形OECF是菱形。

試題分析：（1）連接OC，根據(jù)三線合一得出OC⊥AB，根據(jù)切線判定推出即可。
（2）取圓周角∠M，根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得出∠M+∠ECF=180°，∠EOF=2∠M，推出∠ECF=2∠M，求出∠M，求出∠EOF，得出等邊三角形OEC，推出OE=EC，同理得出OF=FC，推出OE=OF=FC=EC，根據(jù)菱形判定推出即可�！�