Question

如圖，拋物線y=ax²-2ax+c的圖象與x軸交于A、B（3，0），與y軸交于C（0，-

3

2

）
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）P為第二象限拋物線上一點，且∠PBA=∠OCB，點E在線段CB上，過E作x軸的垂線交PB于F，當(dāng)△AEF面積最大時，求點E坐標；
（3）設(shè)直線l：y=kx+b交y軸于M，交拋物線于N，若A、M、N、B為頂點的四邊形為平行四邊形，求直線l解析式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）把點B、C的坐標代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式解答；
（2）設(shè)PB與y軸相交于點D，根據(jù)點B、C的坐標求出OC、OB的長度，然后利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出OD的長度，從而得到點D的坐標，再利用待定系數(shù)法求直線解析式求出直線PB的解析式與直線BC的解析式，設(shè)點E的橫坐標為x，根據(jù)兩直線的解析式表示出E、F的坐標，再根據(jù)拋物線解析式求出點A的坐標，然后表示出EF的長度與點A到EF的距離，然后根據(jù)三角形的面積公式列式整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答得到x的值，便不難求出點E的坐標；
（3）先根據(jù)AB的坐標求出AB的長度，再分①AB是平行四邊形的邊時，直線l與x軸平行，根據(jù)平行四邊形對邊相等求出MN的長度，然后分點N在第一象限與第二象限得到點N的橫坐標，再代入拋物線解析式計算求出縱坐標，從而得解；②AB是平行四邊形的對角線時，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分求出平行四邊形的中心坐標是（1，0），然后求出點N的橫坐標是2，代入拋物線解析式求出點N的縱坐標，再利用待定系數(shù)法求直線解析式計算即可得解．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²-2ax+c的圖象經(jīng)過B（3，0），C（0，-

3

2

），
∴

9a-6a+c=0 c=- 3 2

，
解得

a= 1 2 c=- 3 2

，
所以，拋物線解析式為y=

1

2

x²-x-

3

2

；

（2）如圖，設(shè)直線PB與y軸相交于點D，
∵B（3，0），C（0，-

3

2

），
∴OC=

3

2

，OB=3，
∵∠PBA=∠OCB，∠BOC=∠BOD=90°，
∴△BOC∽△DOB，
∴

OD

OB

=

OB

OC

，
即

OD

3

=

3

3 2

，
解得OD=6，
∴點D的坐標為（0，6），
設(shè)直線PB的解析式為y=ex+f，直線BC的解析式為y=mx+n，
則

3e+f=0 f=6

，

3m+n=0 n=- 3 2

，
解得

e=-2 f=6

，

m= 1 2 n=- 3 2

，
所以，直線PB的解析式為y=-2x+6，直線BC的解析式為y=

1

2

x-

3

2

，
令y=0，則

1

2

x²-x-

3

2

=0，
解得x₁=3，x₂=-1，
所以，點A的坐標為（-1，0），
設(shè)點E的橫坐標為x，則點E（x，

1

2

x-

3

2

），F(xiàn)（x，-2x+6），
EF=-2x+6-

1

2

x+

3

2

=-

5

2

x+

15

2

，
點A到EF的距離為x-（-1）=x+1，
S_△AEF=

1

2

×（-

5

2

x+

15

2

）×（x+1），
=-

5

4

（x-3）（x+1），
=-

5

4

（x²-2x-3），
=-

5

4

（x-1）²+5，
所以，當(dāng)x=1時，△AEF面積最大，
此時

1

2

×1-

3

2

=-1，
所以，點E的坐標為（1，-1）；

（3）∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3-（-1）=3+1=4，
①AB是平行四邊形的邊時，直線l與x軸平行，
此時k=0，MN=AB=4，
所以，點N的橫坐標為4或-4，
當(dāng)點N的橫坐標為4時，y=

1

2

×4²-4-

3

2

=

5

2

，
此時，直線l的解析式為y=

5

2

，
當(dāng)點N的橫坐標為-4時，y=

1

2

×（-4）²-（-4）-

3

2

=

21

2

，
此時，直線l的解析式為y=

21

2

，
②AB是平行四邊形的對角線時，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴平行四邊形的中心坐標為（1，0），
∵點M在y軸上，
∴點N的橫坐標為2，
此時，y=

1

2

×2²-2-

3

2

=-

3

2

，
∴點N的坐標為（2，-

3

2

），
∴

k+b=0 2k+b=- 3 2

，
解得

k=- 3 2 b= 3 2

，
所以，直線l的解析式為y=-

3

2

x+

3

2

，
綜上所述，直線l的解析式為：y=

5

2

或y=

21

2

或y=-

3

2

x+

3

2

．

點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，主要利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形對應(yīng)邊成比例，三角形的面積，二次函數(shù)的最值問題，平行四邊形的對邊平行且相等，對角線互相平分的性質(zhì)，（3）要注意AB為平行四邊形的邊時，直線l與x軸平行的情況的討論．