Question

20．已知：如圖，一次函數(shù)y=kx+3的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象交于點P．PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B．一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于點C、點D，$\frac{OC}{CA}$=$\frac{1}{2}$，且tan∠PDB=$\frac{2}{3}$．
（1）求點D的坐標；
（2）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（3）根據(jù)圖象寫出當x取何值時，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值？

Answer 1

分析 （1）把x=0代入y=kx+3即可求出D的坐標；
（2）設P的坐標為（a，b），可得出OA=a，由OC與CA的比值，表示出OC，確定出C坐標，將C坐標代入直線解析式得到關于k與a的關系式，再由BP=a，BD=3+a，tan∠PDB=$\frac{2}{3}$，利用三角形函數(shù)求出a的值，確定出k的值，進而確定出一次函數(shù)解析式，將x=a的值代入求出y的值，確定出P坐標，代入反比例解析式求出m的值，即可確定出反比例解析式．
（3）根據(jù)圖象即可求得．

解答 解：（1）令x=0，則y=3，
∴D（0，3）；
設P（a，b），則OA=OB=a，
∵$\frac{OC}{CA}$=$\frac{1}{2}$，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC，
∴C（$\frac{1}{3}$a，0），
∵點C在直線y=kx+3上，
∴0=$\frac{1}{3}$ak+3，即ka=-9，
∵BP=a，BD=3+a，tan∠PDB=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{PB}{BD}$=$\frac{a}{3+a}$=$\frac{2}{3}$，
∴a=6，
∴k=-$\frac{3}{2}$，
∴一次函數(shù)的表達式為y=-$\frac{3}{2}$x+3；
將x=6代入一次函數(shù)解析式得：y=-6，即P（6，-6），
代入反比例解析式得：m=-36，
∴一次函數(shù)的表達式為y=-$\frac{3}{2}$x+3，反比例函數(shù)的表達式為y=-$\frac{36}{x}$．、
（3）∵P（6，-6），
∴由圖象可知：0＜x＜6時，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值．

點評 此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．