Question

(滿分l2分)如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，點P是圓外一點，PA切⊙O于點A，且PA=PB．

(1)求證：PB是⊙O的切線；
(2)已知PA=，BC=1，求⊙O的半徑．

Answer 1

(1)證明：連結(jié)OB．
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．
∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA．
∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA，
即∠PAO=∠PBO．                               ……2分
又∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO=90°，
∴∠PBO=90°，∴OB⊥PB．                      ……4分
又∵OB是⊙O半徑，∴PB是⊙O的切線．         ……5分
(說明：還可連結(jié)OB，OP，利用△OAP≌OBP來證明OB⊥PB)
(2)解：連結(jié)OP，交AB于點D．
∵PA=PB，∴點P在線段AB的垂直平分線上．
∵OA=OB，∴點O在線段AB的垂直平分線上．
∴OP垂直平分線段AB．                                             ……7分
∴∠PAO=∠PDA=90°．
又∵∠APO=∠DPA，∴△APO∽△DPA．
∴，∴AP²=PO·DP．   
又∵OD=BC=，∴ PO(PO-OD)=AP²．
即：PO ²一PO=()²，解得PO=2．                                ……10分
在Rt△APO中，OA= =1，即⊙O 的半徑為l．            ……12分
(說明：求半徑時，還可證明△APA∽△ABC或在Rt△OAP中利用勾股定理)

略