如圖，在平面直角坐標系中，點A、C的坐標分別為（-1，0）、（0，-
3
），點B在x軸上．已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B、C三點，且它的對稱軸為直線x=1．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）點D為直線BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個動點（點D與B、C不重合），過點D作y軸的平行線交BC于點E，設點D的橫坐標為m，DE=n，n與m的函數(shù)關系式；
（3）點M在y軸上，點N在拋物線上．是否存在以M、N、A、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
（1）設二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)），
由拋物線的對稱性知B點坐標為（3，0），
依題意得，
a-b+c=0
9a+3b+c=0
c=-
3
，
解得
a=
3
3
b=-
2
3
3
c=-
3
，
所以，二次函數(shù)的解析式為y=
3
3
x2-
2
3
3
x-
3
；

（2）∵點D的橫坐標為m，
∴點D的縱坐標為
3
3
m2-
2
3
3
m-
3
，
設直線BC的解析式為y=kx+b′（k≠0，k、b′是常數(shù)），
依題意得，
3k+b′=0
b′=-
3
，
解得
k=
3
3
b′=-
3
，
所以，直線BC的解析式為y=
3
3
x-
3
，
∴點E的坐標為（m，
3
3
m-
3
），
∴DE的長度n=
3
3
m-
3
-（
3
3
m2-
2
3
3
m-
3
）=
3
3
m2-
3
m，
∵點D在直線BC下方，
∴0＜m＜3；

（3）①AB是平行四邊形的邊時，
∵A（-1，0）、B（3，0），
∴AB=3-（-1）=4，
若點N在y軸的左邊，則點N的橫坐標為-4，
所以，y=
3
3
×（-4）2-
2
3
3
×（-4）-
3
=7
3
，
此時，點N的坐標為（-4，7
3
），
若點N在y軸的右邊，則點N的橫坐標為4，
所以，y=
3
3
×42-
2
3
3
×4-
3
=
5
3
3
，
此時，點N的坐標為（4，
5
3
3
）；
②AB是對角線時，∵點M在y軸上，拋物線對稱軸為直線x=1，
∴點N的橫坐標為2，
∴y=
3
3
×22-
2
3
3
×2-
3
=-
3
，
此時，點N的坐標為（2，-
3
）；
綜上所述，點N的坐標為（-4，7
3
）或（4，
5
3
3
）或（2，-
3
）．
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相關習題

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，二次函數(shù)y=ax2-4x+c的圖象經(jīng)過坐標原點，與x軸交于點A（-4，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在拋物線上存在點P，滿足S△AOP=8，請直接寫出點P的坐標．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)y1=x，y2=x2+bx+c，α，β為方程y1-y2=0的兩個根，點M（t，T）在函數(shù)y2的圖象上．
（Ⅰ）若α=
1
3
，β=
1
2
，求函數(shù)y2的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若函數(shù)y1與y2的圖象的兩個交點為A，B，當△ABM的面積為
1
123
時，求t的值；
（Ⅲ）若0＜α＜β＜1，當0＜t＜1時，試確定T，α，β三者之間的大小關系，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直線y=3x+3交x軸于A點，交y軸于B點，過A、B兩點的拋物線交x軸于另一點C（3，0）．
（1）求A、B的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條非直徑的弦，且AB∥CD，連接AD和BC，
（1）AD和BC相等嗎？為什么？
（2）如果AB=2AD=4，且A、B、C、D四點在同一拋物線上，請在圖中建立適當?shù)闹苯亲鴺讼�，求出該拋物線的解析式．
（3）在（2）中所求拋物線上是否存在點P，使得S△PAB=
1
2
S四邊形ABCD？若存在，求出P的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，OABC是邊長為1的正方形，OC與x軸正半軸的夾角為15°，點B在拋物線y=ax2（a＜0）的圖象上，則a的值為（　　）
A．-
2
3
B．-
2
3
C．-2D．-
1
2

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

課題研究：現(xiàn)有邊長為120厘米的正方形鐵皮，準備將它設計并制成一個開口的水槽，使水槽能通過的水的流量最大．
初三（1）班數(shù)學興趣小組經(jīng)討論得出結(jié)論：在水流速度一定的情況下，水槽的橫截面面積越大，則通過水槽的水的流量越大．為此，他們對水槽的橫截面進行了如下探索：
（1）方案①：把它折成橫截面為直角三角形的水槽（如圖1）．
若∠ACB=90°，設AC=x厘米，該水槽的橫截面面積為y厘米2，請你寫出y關于x的函數(shù)關系式（不必寫出x的取值范圍），并求出當x取何值時，y的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成橫截面為等腰梯形的水槽（如圖2）．
若∠ABC=120°，請你求出該水槽的橫截面面積的最大值，并與方案①中的y的最大值比較大�。�
（2）假如你是該興趣小組中的成員，請你再提供兩種方案，使你所設計的水槽的橫截面面積更大．畫出你設計的草圖，標上必要的數(shù)據(jù)（不要求寫出解答過程）．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

每年六七月份我市荔枝大量上市，今年某水果商以5元/千克的價格購進一批荔枝進行銷售，運輸過程中質(zhì)量損耗5%，運輸費用是0.7元/千克，假設不計其他費用．
（1）水果商要把荔枝售價至少定為多少才不會虧本？
（2）在銷售過程中，水果商發(fā)現(xiàn)每天荔枝的銷售量m（千克）與銷售單價x（元/千克）之間滿足關系：m=-10x+120，那么當銷售單價定為多少時，每天獲得的利潤w最大？

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)y=x2-kx+3圖象的頂點坐標為C，并與x軸相交于A、B，且AB=4，
（1）求實數(shù)k的值；
（2）若P是上述拋物線上的一個動點（除點C外），求使S△ABP=S△ABC成立的點P的坐標．

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