Question

15．如圖是拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0）的一部分，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（1，3），與x軸的一個(gè)公共點(diǎn)B（4，0），直線y₂=mx+n（m≠0）與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，下列結(jié)論：
①2a-b=0；
②abc＜0；
③方程ax²+bx+c=3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
④拋物線與x軸的另一個(gè)公共點(diǎn)是（-1，0）；
⑤當(dāng)1＜x＜4時(shí)，有y₂＞y₁；
其中正確的有（　�。﹤�(gè)．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用對(duì)稱軸是直線x=1判定①；利用開(kāi)口方向，對(duì)稱軸與y軸的交點(diǎn)判定a、b、c得出②；利用頂點(diǎn)坐標(biāo)和平移的規(guī)律判定③；利用對(duì)稱軸和二次函數(shù)的對(duì)稱性判定④；利用圖象直接判定⑤即可．

解答 解：∵對(duì)稱軸x=-$\frac{2a}$=1，
∴2a+b=0，①錯(cuò)誤；

∵a＜0，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在正半軸上，
∴c＞0，
∴abc＜0，②正確；

∵把拋物線y=ax²+bx+c向下平移3個(gè)單位，得到y(tǒng)=ax²+bx+c-3，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)A（1，3）變?yōu)椋?，0），拋物線與x軸相切，
∴方程ax²+bx+c=3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，③正確；

∵對(duì)稱軸是直線x=1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（4，0），
∴與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（-2，0），④錯(cuò)誤；

∵當(dāng)1＜x＜4時(shí)，由圖象可知y₂＜y₁，
∴⑤錯(cuò)誤．
正確的有②③．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)，拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．